第27课 随机事件的概率与古典概型.DOCXVIP

第27课概率

普查与练习27随机事件的概率与古典概型

1．互斥事件和对立事件

a．互斥事件、对立事件的判定

(1)(2023汇编，5分)下列事件中，__③⑤⑥__是互斥事件，__③⑥__是对立事件．(填序号)

①从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，事件“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”；

②一个人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“两次都中靶”；

③抛掷一枚骰子，事件“落地时向上的点数是奇数”与事件“落地时向上的点数是2的倍数”；

④某城市有甲、乙、丙三种报纸，事件“至少订一种报纸”与事件“不订甲报”；

⑤现有5名学生，3名男生2名女生，从中任意抽取2人去参加比赛，事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名男生”；

⑥从1至9这9个自然数中任取两个，事件“至多有一个奇数”与事件“两个数都是奇数”．

解析：①事件“至少有1个黑球”的可能性有两种：1个黑球1个红球或2个黑球；事件“至少有1个红球”的可能性也有两种：1个红球1个黑球或2个红球，两个事件可能同时发生，所以不是互斥事件．

②事件“至少有一次中靶”的可能性有两种：中一次靶或中两次靶，这与事件“两次都中靶”可能同时出现，所以不是互斥事件．

③事件“落地时向上的点数是奇数”的结果可能为1，3，5，事件“落地时向上的点数是2的倍数”的结果可能为2，4，6，两个事件不可能同时发生，所以为互斥事件；又落地时向上的点数只可能是1，2，3，4，5，6，所以两个事件也是对立事件．

④事件“至少订一种报纸”的结果可能为：订甲，订乙，订丙，订甲、乙，订甲、丙，订乙、丙，订甲、乙、丙，而事件“不订甲报”的结果可能为：订乙，订丙，订乙、丙，两个事件可能同时发生，所以不是互斥事件．

⑤事件“恰有1名男生”的结果只有一种：1名男生1名女生，事件“恰有2名男生”的结果只能是2名男生，两个事件不可能一起发生，所以为互斥事件；但是抽取2名学生参赛的可能结果有1名男生1名女生、2名男生、2名女生这三种，所以两个事件不是对立事件．

⑥事件“至多有一个奇数”中，包括“有一个是奇数”和“没有一个是奇数”，与事件“两个数都是奇数”互为对立事件．

b．互斥事件与对立事件的概率

(2)(2020湖北模拟，5分)某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批产品中随机抽取一件产品检测，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为__0.21__．

解析：设抽到一等品、二等品、三等品分别为事件A，B，C，

则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＋P（B）＝0.86，,P（B）＋P（C）＝0.35，,P（A）＋P（B）＋P（C）＝1，))

解得P(B)＝0.21，∴抽到二等品的概率为0.21.

(3)(2021河南模拟，5分)已知从甲袋内摸出1个红球的概率是eq\f(1,3)，从乙袋内摸出1个红球的概率是eq\f(1,2)，从两袋内各摸出1个球，则2个球中至少有1个红球的概率是(C)

A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,6)

解析：设摸出的2个球中至少有1个红球为事件A，则其对立事件A为摸出的2个球中没有红球．∵P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).

故选C.

2．相互独立事件

a．相互独立事件的判定

(4)(2021新高考Ⅰ，5分)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(B)

A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立

C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立

解析：由题知，试验的样本空间包含36个样本点，则P(甲)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，P(乙)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，P(丙)＝eq\f(5,36)，P(丁)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).

甲、丙的交事件为?，其概率P1＝0≠P(甲)P(丙)，即甲与丙不相互独立