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第六章平面向量及其应用
6.3.1平面向量基本定理
一、教学目标
1.平面向量基本定理及其意义;
2.知道作为一个基底的条件,能熟练运用一个基底表示平面内的任一向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题,让学生体验数学的转化思想,培养学生数学抽象、数学运算、直观想象等数学素养。
二、教学重点
平面向量基本定理的理解及其意义;
重点解说:经历平面向量基本定理的探索过程,感悟数学抽象,逻辑推理等数学思想的作用.通过证明平面向量基本定理理解定理,体会定理的重要性及意义.增强对数学思维方法的理解.
三、教学难点
理解作为一个基底的条件,能熟练运用一个基底表示平面内的任一向量.
教学过程:
教学环节
问题或任务
师生活动
设计意图
复习回顾
引出
问题
问题引入
如图,?ABCD的对角线AC和BD交于点M,AB=a,AD=b,试用a,b表示AC,
探究1、能否用AB,DC表示AC,AM,
复习:向量的加法、向量的减法、共线向量基本定理以多媒体形式师问生答的形式。
教师:通过复习的知识点来看这样一道题
学生:两名学生黑板展示.
同学们发现了什么?
教师:现在我们就探究我们这些大胆的猜想
学生:小组合作探究
通过复习、巩固为本课时新课做出铺垫
问题引入:
提出问题.
激发学生学习的兴趣
大胆的猜想
锻炼学生有自己的见解
问题探究的形式,引导学生思考,不断精确,逐步引出平面向量基本定理的具体内容,同时培养学生类比能力以及化归能力,激发学生学习的兴趣和自主探索的精神.
任意性的条件的探究
探
寻
规
律
获
得
结
论
探究2:如图,给定平面内任意两个不共线向量e1、e2,其他任一向量是否都可以表示为的形式?
[思考1]若向量与共线,那么还能用这种形式表示吗?
[思考2]当是零向量时,还能用表示吗?
[思考3]若存在λ1,λ2∈R,μ1,μ2∈R,且a=λ1e1+λ2e2,
a=μ1e1+μ2e2,那么λ1,μ1,λ2,μ2有何关系?
小练
判断
(1)平面向量的基底是唯一的。()
(2)如果e1,e2是共线向量,那么任意向量a能用e1
(3)平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.()
(4)零向量可以做基底。()
教师:提出问题.
学生:
如图,,向量可以分解为两个向量的和.
小组讨论
问题1:任意向量是否都可用e1、e2表示
问题2.同一向量是否可以用不同的不共线e1、e2表示
教师:提出思考1:
学生:若向量与共线,取,则;
若向量与共线时,取,则
教师:提出思考2.
学生:可以,取,,则
教师:提出思考3:
由已知得λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,即(λ1-μ1)e1=(μ2-λ2)e2.
∵e1与e2不共线,
∴λ1-μ1=0,μ2-λ2=0,∴λ1=μ1,λ2=μ2
所以表示形式是唯一的.
教师:综上,我们得到“平面向量基本定理”:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,我们把不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
与学生一起提出注意:
①e1,e2是两个不共线的向量;
②a是平面内的任一向量;
③λ1?,λ2实数,唯一确定.
学生自主完成小练5分钟
锻炼学生作图能力
任意性的探究
这里通过证明“唯一性”,让学生感受数学的严谨扎实,无可辩驳,培养学生逻辑推理素养.
通过练习,加深对平面向量基本定理本质含义的理解,
让学生从较容易的一两个实际运用中进一步感受基本定理的含义,
应用
定理
巩固拓展
课堂小结
升华认知
课堂达标:1、实数x,y满足(2x-3y)e1+(3x-4y)e2=6e1+3e2,则x=________,y=________.
2.在△ABC中,点D,E,F依次是边AB的四等分点,试以eq\o(CB,\s\up13(→))=e1,eq\o(CA,\s\up13(→))=e2为基底表示eq\o(CF,\s\up13(→)).
通过这节课,是否完成了这节课的学习目标
限时5分钟学生自主检测
学习目标
1.理解平面向量基本定理
2.知道作为一个基底的条件,能熟练运用一个基底表示平面内的任一向量.
通过课堂达标检验本课所学。
唯一性的考察与能灵活选择基底进行分解表示的难点是否突破
师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程,体会数学核心素养.
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