〖数学〗平面向量基本定理教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册.docxVIP

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第六章平面向量及其应用

6.3.1平面向量基本定理

一、教学目标

1.平面向量基本定理及其意义;

2.知道作为一个基底的条件,能熟练运用一个基底表示平面内的任一向量.

3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题,让学生体验数学的转化思想,培养学生数学抽象、数学运算、直观想象等数学素养。

二、教学重点

平面向量基本定理的理解及其意义;

重点解说:经历平面向量基本定理的探索过程,感悟数学抽象,逻辑推理等数学思想的作用.通过证明平面向量基本定理理解定理,体会定理的重要性及意义.增强对数学思维方法的理解.

三、教学难点

理解作为一个基底的条件,能熟练运用一个基底表示平面内的任一向量.

教学过程:

教学环节

问题或任务

师生活动

设计意图

复习回顾

引出

问题

问题引入

如图,?ABCD的对角线AC和BD交于点M,AB=a,AD=b,试用a,b表示AC,

探究1、能否用AB,DC表示AC,AM,

复习:向量的加法、向量的减法、共线向量基本定理以多媒体形式师问生答的形式。

教师:通过复习的知识点来看这样一道题

学生:两名学生黑板展示.

同学们发现了什么?

教师:现在我们就探究我们这些大胆的猜想

学生:小组合作探究

通过复习、巩固为本课时新课做出铺垫

问题引入:

提出问题.

激发学生学习的兴趣

大胆的猜想

锻炼学生有自己的见解

问题探究的形式,引导学生思考,不断精确,逐步引出平面向量基本定理的具体内容,同时培养学生类比能力以及化归能力,激发学生学习的兴趣和自主探索的精神.

任意性的条件的探究

探究2:如图,给定平面内任意两个不共线向量e1、e2,其他任一向量是否都可以表示为的形式?

[思考1]若向量与共线,那么还能用这种形式表示吗?

[思考2]当是零向量时,还能用表示吗?

[思考3]若存在λ1,λ2∈R,μ1,μ2∈R,且a=λ1e1+λ2e2,

a=μ1e1+μ2e2,那么λ1,μ1,λ2,μ2有何关系?

小练

判断

(1)平面向量的基底是唯一的。()

(2)如果e1,e2是共线向量,那么任意向量a能用e1

(3)平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.()

(4)零向量可以做基底。()

教师:提出问题.

学生:

如图,,向量可以分解为两个向量的和.

小组讨论

问题1:任意向量是否都可用e1、e2表示

问题2.同一向量是否可以用不同的不共线e1、e2表示

教师:提出思考1:

学生:若向量与共线,取,则;

若向量与共线时,取,则

教师:提出思考2.

学生:可以,取,,则

教师:提出思考3:

由已知得λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,即(λ1-μ1)e1=(μ2-λ2)e2.

∵e1与e2不共线,

∴λ1-μ1=0,μ2-λ2=0,∴λ1=μ1,λ2=μ2

所以表示形式是唯一的.

教师:综上,我们得到“平面向量基本定理”:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,我们把不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

与学生一起提出注意:

①e1,e2是两个不共线的向量;

②a是平面内的任一向量;

③λ1?,λ2实数,唯一确定.

学生自主完成小练5分钟

锻炼学生作图能力

任意性的探究

这里通过证明“唯一性”,让学生感受数学的严谨扎实,无可辩驳,培养学生逻辑推理素养.

通过练习,加深对平面向量基本定理本质含义的理解,

让学生从较容易的一两个实际运用中进一步感受基本定理的含义,

应用

定理

巩固拓展

课堂小结

升华认知

课堂达标:1、实数x,y满足(2x-3y)e1+(3x-4y)e2=6e1+3e2,则x=________,y=________.

2.在△ABC中,点D,E,F依次是边AB的四等分点,试以eq\o(CB,\s\up13(→))=e1,eq\o(CA,\s\up13(→))=e2为基底表示eq\o(CF,\s\up13(→)).

通过这节课,是否完成了这节课的学习目标

限时5分钟学生自主检测

学习目标

1.理解平面向量基本定理

2.知道作为一个基底的条件,能熟练运用一个基底表示平面内的任一向量.

通过课堂达标检验本课所学。

唯一性的考察与能灵活选择基底进行分解表示的难点是否突破

师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程,体会数学核心素养.

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