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向量在三角形中的应用

泰兴市横垛中学戎燕霞

向量是高中数学中的一个重要概念，无论在平面、立体、解析几何都有着大大拓宽解题思路与方法的重要作用。向量融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，因此不少中学平面几何问题往往总是可用向量的适当形式表示，转化并加以解决。本文主要讨论向量在三角形中的应用。

判断三角形的形状

例1、在中，且

试判断三角形的形状

分析：解题关键

解：∵

同理

故是等边三角形

例2、向量满足条件，=1，试判断的形状。

解：，

即+，，

同理=，故是等边三角形。

变形：在四边形中，·＝·＝·＝·，试证明四边形是矩形。

分析：要证明四边形ABCD是矩形，可以先证四边形ABCD为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直.为此可从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行思考.

评述：向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，另一方面又具有一套优良的运算性质，因此，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，要注意体会.

三角形的“四心”：内心、垂心、重心、外心

（一）、平面向量与三角形内心结合

O是内心的充要条件是

ACBCCP例3、O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，

A

C

B

C

C

P

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

解析：因为是向量的单位向量，设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，故在中，AP平分，则知选B.

点评：解决这道问题首先须知道是什么。想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

(二)平面向量与三角形垂心结合

例4、H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.

由,

同理，.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（证略））

点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。

(三)平面向量与三角形重心结合

例5、G是△ABC所在平面内一点，

=点G是△ABC的重心.

证明：作图如右，图中

连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE

为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.

将代入=，

得=，故G是△ABC

的重心.（反之亦然（证略））

例6、P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.

证明：

∵G是△ABC的重心

∴=0=0，即

由此可得.（反之亦然（证略））

(四)将平面向量与三角形外心结合

例7、若为内一点，，则是的（????）

A．内心??????????B．外心???????C．垂心?????????D．重心

解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心?，选B。

点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知

识巧妙结合。

(五)平面向量与三角形四心结合

在中，已知分别是三角形的外心、重心、垂心

求证：三点共线，且

【证明】：以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系。设、，分别为、、

的中点，则有：

由题设可设,

AB(

A

B(x1,0)

C(x2,y2)

y

x

H

Q

G

D

E

F

即，故三点共线，且

【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：

（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

向量的数量积体现了向量的长度与三角函数之间的关系，把向量的数量积应用到三角形中，就能解决三角形的边角之间的有关问题。