北师大九年级下册3.3 垂径定理（含音频+视频）.pptxVIP

第三章圆3.3垂径定理北师大版数学九年级下册

学习目标1.理解垂径定理的推导。2.利用垂径定理解决实际问题。

情景导入你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．

情景导入它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？37.4m7.2m

核心知识点一：垂径定理及其推论OOO圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.探索新知

根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段和弧？并尝试证明？AM=A’M⌒⌒AC＝A’C，AD＝A’Ｄ⌒⌒已知：线段AA’是⊙O的一条弦，直径CD⊥AA’，垂足为M。求证：AM=A’M,⌒⌒AC=A’C,⌒⌒AD=A’D.OADCAM探索新知

证明:设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上的点CD以外的任意一点.OADC过A作AA垂直CD，交于⊙O点A，垂足为M，连接OA，OA.AM在△OAA中，∵OA=OA，∴△OAA是等腰三角形.又∵AA垂直CD∴MA=MA即CD是AA的垂直平分线.探索新知

从上面的证明过程中我们可以知道：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点A重合，AE与BE重合，AC和AC,AD与AD重合．⌒⌒⌒⌒∴MA=MA,AC=AC,AD=AD))))即直径CD平分弦AA，并且平分AA,ACA))探索新知

归纳总结垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．用几何语言表述为：如图，在⊙O中，探索新知

垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABOCABODC探索新知

练一练：判断下列图形，能否使用垂径定理？CDABOCDEOCDABO定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦探索新知

如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M（1）图是轴对称图形吗?如果是其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.CDABMO探索新知

连接OA、OB，易证OM⊥AB，∠AOC=∠BOC∴AC=BC，AD=BD⌒⌒⌒⌒即直径CD⊥AB，直径CD平分AB所对的劣弧AB和优弧ADB⌒⌒CDABMO探索新知

归纳总结MCD垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。符号语言：在⊙O中，∵CD是直径，AM=BM，且AB不是直径，∴CD⊥AB，AC=BC，AD=BD⌒⌒⌒⌒探索新知

根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.归纳总结探索新知

例：如图,一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中,点O是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.EODCF└探索新知

解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.●OCDEF┗探索新知

试一试：1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1m）.探索新知

解：如图，OD=OC–DC=R–7.2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.72+（R–7.2）2解得R≈27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.AB=37.4，CD=7.2探索新知

当堂检测1.如图所示,一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m,水面宽AB为8m,则拱桥的半径OC为()A.4m B.5m C.6m D.8mB

当堂检测2.如图所示,AB是圆O的弦,AB的长为4,P是圆O上的一个动点(不与点A,B重合).过点O分别作OC⊥AP于点C,OD⊥PB于点D,则CD的长为()A.1 B.2 C.3 D.4B

当堂检测3.如图①所示,筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②所示,筒车盛水筒的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,已知圆心O在水面上方,且☉O被水面截得的弦AB长为6m,☉O的半径为4m.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是()B① ②

当堂检测4.如图所示,A,B,C是☉O上的点,OC⊥A