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第三章圆3.3垂径定理北师大版数学九年级下册
学习目标1.理解垂径定理的推导。2.利用垂径定理解决实际问题。
情景导入你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.
情景导入它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?37.4m7.2m
核心知识点一:垂径定理及其推论OOO圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.探索新知
根据轴对称图形性质,你能发现图中有那些相等的线段和弧?并尝试证明?AM=A’M⌒⌒AC=A’C,AD=A’D⌒⌒已知:线段AA’是⊙O的一条弦,直径CD⊥AA’,垂足为M。求证:AM=A’M,⌒⌒AC=A’C,⌒⌒AD=A’D.OADCAM探索新知
证明:设CD是⊙O的任意一条直径,A为⊙O上的点CD以外的任意一点.OADC过A作AA垂直CD,交于⊙O点A,垂足为M,连接OA,OA.AM在△OAA中,∵OA=OA,∴△OAA是等腰三角形.又∵AA垂直CD∴MA=MA即CD是AA的垂直平分线.探索新知
从上面的证明过程中我们可以知道:把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,点A与点A重合,AE与BE重合,AC和AC,AD与AD重合.⌒⌒⌒⌒∴MA=MA,AC=AC,AD=AD))))即直径CD平分弦AA,并且平分AA,ACA))探索新知
归纳总结垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.用几何语言表述为:如图,在⊙O中,探索新知
垂径定理的几个基本图形:ABOCDEABOEDABOCABODC探索新知
练一练:判断下列图形,能否使用垂径定理?CDABOCDEOCDABO定理中的两个条件缺一不可——直径(半径),垂直于弦探索新知
如图,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点M(1)图是轴对称图形吗?如果是其对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由.CDABMO探索新知
连接OA、OB,易证OM⊥AB,∠AOC=∠BOC∴AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒即直径CD⊥AB,直径CD平分AB所对的劣弧AB和优弧ADB⌒⌒CDABMO探索新知
归纳总结MCD垂径定理推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。符号语言:在⊙O中,∵CD是直径,AM=BM,且AB不是直径,∴CD⊥AB,AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒探索新知
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.归纳总结探索新知
例:如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中,点O是所在圆的圆心),其中CD=600m,E为上一点,且OE丄CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.EODCF└探索新知
解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理,得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.●OCDEF┗探索新知
试一试:1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4m,拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2m,求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1m).探索新知
解:如图,OD=OC–DC=R–7.2.在Rt△AOD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.72+(R–7.2)2解得R≈27.9(m).答:赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.AB=37.4,CD=7.2探索新知
当堂检测1.如图所示,一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m,水面宽AB为8m,则拱桥的半径OC为()A.4m B.5m C.6m D.8mB
当堂检测2.如图所示,AB是圆O的弦,AB的长为4,P是圆O上的一个动点(不与点A,B重合).过点O分别作OC⊥AP于点C,OD⊥PB于点D,则CD的长为()A.1 B.2 C.3 D.4B
当堂检测3.如图①所示,筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②所示,筒车盛水筒的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,已知圆心O在水面上方,且☉O被水面截得的弦AB长为6m,☉O的半径为4m.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是()B① ②
当堂检测4.如图所示,A,B,C是☉O上的点,OC⊥A
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