2024_2025学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2第2课时对数函数及其性质的应用学案新人教A版.docVIP

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第2课时对数函数及其性质的应用

类型一利用对数函数的单调性比较大小(数学运算、逻辑推理)

【典例】1.若a＝log32，b＝log34，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是()

A．a＜b＜c B．a＜c＜b

C．c＜a＜b D．c＜b＜a

2．设a＝log2e，b＝ln(3e)，c＝e－2(e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为()

A．a＞b＞c B．cab

C．bca D．bac

【思路导引】

1．同底数的利用单调性比较大小，不同底数的化同底后比较．

2．借助中间值比较大小．

【解析】1.选C.因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log34＞log32log31＝0，

c＝＝－log360，所以c＜a＜b.

2．选D.因为log22＝1＜a＝log2e＜log24＝2，b＝ln(3e)＝ln3＋lne＞2，c＝e－2＜e0＝1，

所以a，b，c的大小关系为b＞a＞c.

比较对数值大小的四种常用方法

(1)同底数的利用对数函数的单调性．

(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．

(3)底数和真数都不同，找中间量．

(4)若底数为同一参数，则依据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类探讨．

提示：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小．

1．(2024·天津高考)设a＝30.7，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－0.8)，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为()

A．abcB．bac

C．bcaD．cab

【解析】选D.因为a＝30.71，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－0.8)＝30.830.7＝a，

c＝log0.70.8log0.70.7＝1，所以c1ab.

2．设a＝log2π，b＝logeq\f(1,2)π，c＝π－2，则()

A．abcB．bac

C．acbD．cba

【解析】选C.a＝log2π1，b＝logeq\f(1,2)π0，c＝π－2∈(0，1)，所以acb.

【补偿训练】

已知logeq\f(2,3)blogeq\f(2,3)alogeq\f(2,3)c，则()

A.2a2b2c B．2b2

C．2c2b2a D．2c

【解析】选B.由于函数y＝logeq\f(2,3)x为减函数，因此由logeq\f(2,3)blogeq\f(2,3)alogeq\f(2,3)c，可得bac，又由于函数y＝2x为增函数，所以2b2a2c.

类型二对数型函数的值域问题(数学抽象、数学运算)

【典例】1.函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)的值域是________．

2．(2024·三亚高一检测)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于________．

3．求y＝(logeq\f(1,2)x)2－eq\f(1,2)logeq\f(1,2)x＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值．

【解析】1.f(x)＝logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)＝logeq\f(1,2)[(x＋1)2＋2]，因为(x＋1)2＋2≥2，所以logeq\f(1,2)[(x＋1)2＋2]≤logeq\f(1,2)2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1].

答案：(－∞，－1]

2．当a1时，f(x)在[0，1]上单调递增，则最大值和最小值之和为f(1)＋f(0)＝a＋loga2＋1＝a，

解得a＝eq\f(1,2)，不满意a1，舍去；当0a1时，f(x)在[0，1]上单调递减，则最大值和最小值之和为f(0)＋f(1)＝1＋a＋loga2＝a，解得a＝eq\f(1,2)，符合题意．

答案：eq\f(1,2)

3．因为2≤x≤4，所以logeq\f(1,2)2≥logeq\f(1,2)x≥logeq\f(1,2)4，

即－1≥logeq\f(1,2)x≥－2.

设t＝logeq\f(1,2)x，则－2≤t≤－1，

所以y＝t2－eq\f(1,2)t＋5，其图象的对称轴为直线t＝eq\f(1,4)，

所以当t＝－2即logeq\f(1,2)x＝－2，x＝4时，ymax＝10；

当t＝－1即logeq\f(1,2)