重庆大学《线性代数》课件-第4章线性方程组.ppt

因为R(A)=R(B)=2，所以方程组有解，可得通解方程组：即另解：仿照解一对系数矩阵A施行初等行变换，可得原方程组的同解方程组易见：从而如果我们记那么结论可以表示为其中为任意实数。例4.5解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为例4.6求解方程组解对作初等行变换～～～即得同解方程组于是有为任意的.故方程组的通解为为任意实数.第二节非齐次线性方程组（1）称为非齐次方程组，其中不全为零.若代入（1），时的等式成立，则称为方程组（1）的解或解向量.记A=方程组（1）可写成（2）记B=那么，称为方程组（1）系数矩阵，称为方程组（1）的增广矩阵.(有时记为)证明4.2.1非齐次方程组解的性质及其结构证明证毕．其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.非齐次线性方程组的通解定理4.7:非齐次线性方程组Ax=b的通解为4.2.2非齐次线性方程组解的存在条件…，则方程组（1）可写成（3）记与方程组有解等价的命题定理4.8方程组Ax=b有解定理4.9若非齐次线性方程组（1）有解，即，则（1）当时，方程组（1）有唯一解；（2）当时，方程组（1）有无穷多解.证时，（1）对应的齐次方程组只有零解，由（4）式知方程组（1）的解唯一.时，（1）对应的齐次方程组有非零解，从而有无穷多解，所以由（4）式知方程组（1）有无穷多解.例4.8判断线性方程组是否有解？解对增广矩阵作初等行变换由此看出R(A)=2,R(B)=3，所以R(A)≠R(B)，方程组无解.例4.9若方程组有解，则a应该满足什么条件？解增广矩阵当a=5时，有R(A)=R(B)=2.所以当a=5时，方程组有解.4.2.3非齐次线性方程组解的判定的几何直观解释Ⅰ两个未知量的情况我们知道，当a,b不全为0时，线性方程ax+by=c的解(x.y)构成平面中的一条直线，因此下面二元非齐次线性方程组是否有解可以用两个线性方程所表示直线的相互位置关系来描述.不妨用A表示系数矩阵，B表示增广矩阵，由定理4.9可得以下结论：(1)若R(A)=R(B)=2,则上述方程组有唯一解，其几何意义为两条直线相交于一点;(2)若R(A)=R(B)=1,则上述方程组有无穷多个解，在几何上表现为两条直线重合;(3)若R(A)=1,R(B)=2,则上述方程组无解，在几何上表现为两条直线平行.Ⅱ三个未知量的情况我们知道，当a,b,c不全为0时，线性方程ax+by+cz=d的解(x,y,z)构成空间中的一个平面，因此下面三元非齐次线性方程组是否有解可以用三个线性方程所表示平面的相互位置关系来描述.不妨用A表示系数矩阵，B表示增广矩阵，由定理4.9可得以下结论：（1）若R(A)=R(B)=3，则上述方程组有唯一解，其几何意义为三个平面相交于一点；（2）若R(A)=R(B)=2,则上述方程组有无穷多个解，在几何上表现为三个平面交于一条直线；（3）若R(A)=R(B)=1，,则上述方程组有无穷多个解,其几何意义为三个平面重合;又由定理4.9可得,当R(A)≠R(B)时,非齐次线性方程组无解.事实上,由于系数矩阵A,增广矩阵B分别由三个列向量和四个列向量构成,因此矩阵A与B的秩相差为1.从而R(A)和R(B)不等存在下列两种情形：（4）若R(A)=2,R(B)=3,则上述方程组无解,其几何意义为三个平面没有相交的部分;（5）若R(A)=1,R(B)=2,则上述方程组无解，几何意义为三个平面平行或两个平面重合与第三