第23讲 专题三次函数的图象和性质 （八大题型）（原卷版）.pdfVIP

第06讲专题三次函数的图象和性质

目录

01方法技巧与总结2

02题型归纳总结4

题型一：三次函数的零点问题4

题型二：三次函数的最值、极值问题5

题型三：三次函数的单调性问题6

题型四：三次函数的切线问题6

题型五：三次函数的对称问题7

题型六：三次函数的综合问题7

题型七：三次函数恒成立问题9

题型八：等极值线问题10

03过关测试11

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1、基本性质

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f(x)axbxcxdac

设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有：

bdRa0

RR

性质1：①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：

a0a0

0000

图像

性质2：三次方程f(x)0的实根个数

由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三

次函数为例来研究根的情况，设三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)

其导函数为二次函数:f¢(x)3ax22bxc(a0)，

判别式为：△=4b2-12ac4(b2-3ac)，设f¢(x)0的两根为、，结合函数草图易得：

xx

12

(1)若b2-3ac0，则f(x)0恰有一个实根；

(2)若b2-3ac0,且f(x1)×f(x2)0，则f(x)0恰有一个实根；

(3)若b2-3ac0,且f(x1)×f(x2)0，则f(x)0有两个不相等的实根；

(4)若b2-3ac0,且f(x1)×f(x2)0，则f(x)0有三个不相等的实根.

x

说明:(1)(2)f(x)0含有一个实根的充要条件是曲线yf(x)与轴只相交一次，即f(x)在R上为单

调函数（或两极值同号），所以b2-3ac0（或b2-3ac0，且f(x1)×f(x2)0）;

x

(5)f