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第26课空间向量在立体几何中的应用

普查与练习26空间向量在立体几何中的应用

1．空间向量及其运算

a．空间向量的基本定理及线性运算

(1)(经典题，12分)如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，

BC，CD，DA的中点．

(Ⅰ)求证：E，F，G，H四点共面；

答案：见证明过程

证明：连接BG.∵E，H分别为AB和AD的中点，

1→1→

∴EH∥BD，且EH＝BD，∴＝.

EHBD

22

→1→→

∵G是CD的中点，∴＝(＋)，

BGBCBD

2

→→→→1→→→→→→→

∴＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.

EGEBBGEBBCBDEBBFEHEFEH

2

由向量共面的充要条件，可知E，F，G，H四点共面．(5分)

(Ⅱ)求证：BD∥平面EFGH；

答案：见证明过程

证明：由(Ⅰ)知EH∥BD，∵EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，

∴BD∥平面EFGH.(8分)

→1→→→→

(Ⅲ)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM＝(OA＋OB＋OC＋OD)．

4

答案：见证明过程

→1→→1→

证明：由(Ⅰ)知＝，同理＝，

EHBDFGBD

22

→→

∴＝，∴EH∥FG，EH＝FG，

EHFG

∴四边形EFGH为平行四边形，

∴M为对角线EG的中点，

→1→→

∴OM＝(OE＋OG)．(10分)

2

∵E，G分别是AB，CD的中点，

→1→→→1→→

∴OE＝(OA＋OB)，OG＝(OC＋OD)，

22

1→→11→→1→→1→→→→

∴OM＝(OE＋OG)＝[(OA＋OB)＋(OC＋OD)]＝(OA＋OB＋OC＋OD)．(12分)

22224

b．空间向量数量积及其应用

(2)(2023改编，5分)已知向量a＝(2，－1，1)，b＝(1，x，2)，若a，b的夹角为60°，

则x的值为(C)

A．1B．－17C．1或－17D．－