〖数学〗数系的扩充和复数的概念教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docxVIP

7.1.1数系的扩充和复数的概念

课标要求

通过方程的解，认识复数。

理解复数的代数表示。

理解两个复数相等的含义。

内容与学情分析

内容分析

复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后次扩充，通过复数的学习，可以使学生对于数的概念有一个更加完整的认识。复数与平面向量、平面解析几何，三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础。复数在力学、电学及其他学科中都有广泛的应用。

在数学中，数系的扩充必须遵循有关的“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算，乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。从实数系向复数系扩充，同样要符合这样的规则。复数概念的引入，从实系数一元二次方程当判别式小于0时没有实数根出发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程，得到数系扩充中体现出的“规则”，进而在“规则”的引导下，考虑为使方程x2+1=0有解，引人新数i，从而可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集，这一过程，通过数系扩充“规则”的归纳，提升学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用。

复数的概念是整个复数内容的基础。复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义，以及虚数、纯虚数等概念的理解，都是在促进对复数实质的理解，即复数a+bi实质上是有序实数对(a，b)。通过对复数实质的揭示，为后续复数的几何意义、复数的四则运算以及复数的三角表示的学习作准备。因此，复数的概念，对本章具有奠基性的作用。

学习重点

复数的概念、代数形式。

学习难点

复数的扩充过程及复数的概念的抽象过程。

学情分析

学生在学习本节课内容之前，在义务教育阶段已经经历了从自然数到实数的扩充过程，对数系的扩充有了一定的认识，知道数系扩充后，新的数系能够解决在原有数系中无法解决的一些解方程问题（如引入无理数，把有理数系扩充到实数系后，可以解决方程x2-2=0的解这样的问题等)，因此当遇到像x2+1=0这样的方程的解问题时，通过引导启发，学生能够联想到对现有的实数系进行进一步扩充，从而使方程x2+1=0有解。学生在前面的学习中，也已多次利用过类比的方法来研究数学问题，这为本节课类比有理数系扩充到实数系的过程和方法，将实数系扩充到复数系提供了可能。

学生在学习时可能出现的障碍为：

(1)因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中，如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味，学生不易接受。

(2)由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引人，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难。

(3)学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难。

学习目标

通过梳理数系的扩充过程，了解引入复数的必要性。

2.通过方程的解，认识复数。

3.理解复数的代数表示及相关概念。

4.理解两个复数相等的含义。

核心素养

1.经历数系的扩充过程，培养数学抽象与逻辑推理的素养。

2.通过复数的概念及复数相等的含义，提升数学运算、数学抽象与逻辑推理的素养。

学生课前需要做的准备工作

学生通过信息手段，查阅数的发展史，明确数从自然数集扩充到实数集都解决了什么实际问题。

学习策略

问题驱动教学法讲练结合

学习

环节

学习任务设计与教师活动

学生活动设计

设计意图

落实目标

导入新课：

创设情境，引出研究内容

问题1：能否求出方程x2+2x+2=0的解？

教师分析方程没有实数解的原因——负实数不能开平方。

让学生阅读教材章引言，展示本节课学习目标。

计算方程判别式小于0，得出结论：方程没有实数解.

阅读教材，明确本章学习内容及本节学习目标。

利用学生熟悉的一元二次方程解的问题引出课题，说明引入复数的必要性。

明确目标。

环节一：

归结为方程求解，梳理数系扩充的规则

问题2：我们知道，像x2+1=0这些方程在实数集中是无解的，那能否类比从自然数集到实数集的扩充过程，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程有解？

教师从两方面（生产生活和方程）梳理从自然数集到实数集的扩充过程，渗透数学文化，并板书。

明确数系的扩充规则。

利用自己课前查阅的资料，回顾从自然数集到实数集的扩充过程，完成导学案。

理解数系的扩充规则。

通过回顾数的发展过程，使学生体会到现实生产生活对数学发展的推动作用，体会方程与数的发展的联系，激发学生对数系扩充的兴趣。

环节二：依据规则，扩充实数集