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国内微积分教材中关于所谓无穷小比较大小问题引出的争论以及反映出的问题

沈卫国（2023年12月23日）

内容摘要：针对近30年某些微积分教材中的无穷小比较大小的问题疑难的争论，彻底分析

了这个问题产生的缘由，指出其中的问题本质，并得出结论：不从根本上进行观念的改变，

这个问题无解。

关键词：无穷小；高阶无穷小；同阶无穷小；趋0极限；导数；增量比；差商；因变量；

函数；自变量；趋0快慢；趋0距离

最近了解到，关于国内微积分教材中所谓无穷小比较大小的说法，曾经引起了很大的

争论，似乎并没有确切的结论。这个问题，直接反映了微积分基础理论的结构的混乱到了令

人吃惊的地步。按这个逻辑，根本不可能辩出个结果，因为整个理论都是不行的。还更令人

吃惊的是，明明第二代微积分的极限法为了回避贝克莱悖论，是摈弃了无穷小这个概念的，

怎么又会被堂堂正正地写入了教材，并且被一些教师说成是“高等数学的很重要的概念”？

我又专门去查了一下，手头上有的美国托马斯微积分、普利斯顿微积分教材、方源和王元的

微积分教材、龚升的微积分教材中，这些严肃的权威教材中，根本就没有无穷小这个词条出

现！难道我们现在一般的微积分教材，还是沿用牛顿、莱布尼兹时代的教材吗？如果学生都

被教成这个样子，也就难怪笔者对微积分的诠释鲜有人问津了：很多人根本就认为第一代微

积分的无穷小都无错，所谓的高阶无穷小就可以舍去或应该舍去，无问题，微积分本质上就

是一个近似的东西，等等。

这个问题，始于二十年前的2004年的参考文献1。由申兰珍的一篇小文引出。她说：

“无穷小的比较是无穷小量这部分内容的一个组成部分。“设α‚β均为无穷小量‚若

limα/β＝0‚则称α较β高阶无穷小”‚解释为“α比β趋于0的速度快”（引号部

分摘之教材）。当x→0＋时‚y＝x与y＝x都是无穷小量‚∵limx→0＋x/x22

＝0‚按某些教材的解释‚自然可以说y＝x与yx向0的变化速度快。众所周知，2

导数是研究函数变化速度的‚要想知道函数f（x）的变化速度只需求f（x）的导数

即可。y＝x的变化速度为y′＝2x‚而y＝x的变化速度为y′＝1‚当0＜x＜1／22

时‚显然yx的变化速度比y＝x的变化速度要大‚也就是说在x→0＋的过程中y2

＝x比y＝x的速度快‚这与无穷小量的比较的解释恰好相反。我们再来看无穷小的比2

较：limα/β＝0⇔∀（不妨设0＜ε＜1）‚总存在那么一个时刻‚从那个时刻以后｜

α/β｜＜ε＜1‚分子的绝对值比分母的绝对值小‚说明分子离零的距离要比分母离的

近。因此可以说‚无穷小的比较实际上是在某个变化过程中从某个时刻以后谁离零的距离

更近‚谁离的近谁就是较另一个的高阶无穷小。而距离的远近不能用变量变化速度的慢快

来说明‚y＝x与y＝x就是一对很好的例子。在0＜x＜1／2内‚｜x2｜＜｜x｜2

‚而在x→0＋的过程中‚x的变化速度却比x的变化速度要慢得多。所以‚我认为有2

些教材关于穷小的比较的解释不准确。”

其后的讨论，对文献1的批评居多，认为她说的不对，教材不是那个意思云云，都属于

对教材“趋0速度”快慢的重新解释与理解，但这恰恰说明教材的说法是不严格的。也即是，

所谓的“趋0速度”的快慢，究竟是个什么意思？不得一个二次的诠释吗？而这还不是教材

的问题？一个需要二次诠释的教材，能说是好教材吗？能说没有问题吗？人家提出这个问题

了，却说人家没有理解教材意思，而把一个进一步诠释的东西当成教材的东西，反说人家理

解错了，这种逻辑，是个什么逻辑？笔者认为，文献1提出了一个非常关键甚至要害的问题，

值得认真对待。它不但反映了现有微积分教材在处理无穷小问题时的问题，也反映了极限法

的问题。事实上，这个问题的本质，是趋0速度与接近0的原本就是距离是两回事，这个问

题，实际上就是芝诺阿克琉斯追乌龟问题的翻版：乌龟速度慢，但一直在跑的快的阿克琉斯

的前面。因此，你说接近目标的速度，是哪个快？按运动速度而论，当然是跑的快的阿克琉

斯快，但按接近目标而论，就是在前面的乌龟更接近目标（可以理解成二者会合时的地点）

了。文献1实际上是认为教材中的解释，似乎是趋0速度快的先到目标0的说法“不准确”。