线性代数高等代数知识点总结.ppt

与初始向量组等价第31页，共54页，星期日，2025年，2月5日正交矩阵定义：正交矩阵的性质：第32页，共54页，星期日，2025年，2月5日*线性方程组线性方程组的表示方程式：矩阵式：Ax=b,其中A=(aij)m×n,x=(xi)n×1,b=(bi)m×1向量式：x1?1+...+xn?n=b,其中?i是xi的系数列第33页，共54页，星期日，2025年，2月5日*解的判定:1.n元线性方程组Ax=b有解?系数矩阵与增广矩阵的秩数相等.具体地，当秩A＜秩(Ab)时，方程组无解当秩A＝秩(Ab)＝n时，方程组有唯一解当秩A＝秩(Ab)＜n时，方程组有无穷解2.线性方程组有解?常数列可由系数列线性表示.此时,解恰为表示的系数第34页，共54页，星期日，2025年，2月5日*解法Cramer法则Gauss-Jordan消元法：用行变换和列换法变换将增广矩阵化成行最简形写出行最简形对应的方程组取每个方程的第一个变量为主变量，其余的为自由变量，并解出主变量写出参数解或通解第35页，共54页，星期日，2025年，2月5日*解的结构齐次线性方程组Ax=0：解空间：解的集合基础解系：解空间的基底通解：设?1,…,?s是一个基础解系,则通解为?=c1?1+...+cs?s，其中c1,...,cs是任意常数解空间的维数＝未知数个数－系数矩阵的秩数设秩A=r,则Ax=0的任何n-r个无关的解都是基础解系第36页，共54页，星期日，2025年，2月5日*一般线性方程组Ax=b：Ax＝b和Ax=0的解的关系：Ax＝b的两个解之差是Ax=0的解Ax＝b的解与Ax=0的解之和是Ax=b的解Ax=b的解的线性组合是设Sb和S0分别表示Ax＝b和Ax=0的解集合，则Sb＝S0+?，???Sb通解：设?1,…,?s是一个基础解系,?是Ax=b的一个解,则通解为?=c1?1+...+cs?s+?，其中c1,...,cs是任意常数Ax=0的解，当系数和＝0时；Ax=b的解，当系数和＝1时.第37页，共54页，星期日，2025年，2月5日*矩阵计算行列式：①化三角形；②展开+递推求逆矩阵：①行变换；②伴随求秩数：①初等变换；②定义计算第38页，共54页，星期日，2025年，2月5日关于线性代数高等代数知识点总结第1页，共54页，星期日，2025年，2月5日概念不同行不同列的元素的乘积的代数和。性质经转置行列式的值不变；互换两行行列式变号；某行有公因子可提到行列式符号外；拆成行列式的和；消法变换。第2页，共54页，星期日，2025年，2月5日展开第3页，共54页，星期日，2025年，2月5日计算数字型抽象型三角化法；重要行列式法；加边法；递推法。用行列式性质；用矩阵性质；用特征值；利用矩阵相似。【热点】注意与矩阵的运算相联系的一些行列式的计算及其证明.第4页，共54页，星期日，2025年，2月5日证|A|=0AX=0有非零解；反证法；R(A)n;A可逆；|A|=-|A|；A的列向量组线性相关；0是A的特征值；第5页，共54页，星期日，2025年，2月5日应用AX=0有非零解；伴随矩阵求逆法；克拉姆法则;A可逆的证明；线性相关(无关)的判定；特征值计算。第6页，共54页，星期日，2025年，2月5日二、特殊行列式的值第7页，共54页，星期日，2025年，2月5日第8页，共54页，星期日，2025年，2月5日第9页，共54页，星期日，2025年，2月5日第10页，共54页，星期日，2025年，2月5日三、有关行列式的几个重要公式1、若A是n阶矩阵，则2、若A,B是n阶矩阵，则3、若A是n阶矩阵，则4、若A是n阶可逆矩阵，则5、若A是n阶矩阵，是A的n个特征值，则6、若A与B相似，则第11页，共54页，星期日，2025年，2月5日行列式的计算（重点）常用方法：三角化法展开降阶法（和消元相结合最为有效）加边法归纳法化为已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：三角形、爪型、“范德蒙”行列式等）第12页，共54页，星期日，2025年，2月5日本章所需掌握的题型：行列式计算（重点）

1、具体阶数行列式计算

2、较简单的n阶行列式计算与行列式定义、性质有关的问题需利用行列式进行判定的问题

如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况

2、矩阵可逆性

3、向量组相关性（向量个数＝向量维数）

4、两个矩阵相似的必要条件

5、矩阵正定、半正定