2024_2025学年新教材高中数学第四章幂函数指数函数和对数函数5.2形形色色的函数模型学案湘教版.docVIP

PAGE

PAGE6

形形色色的函数模型

新课程标准解读

核心素养

1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具

数学建模

2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的改变规律

数学运算

随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具．下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：

年份

2024

2024

2024

销量/万辆

8

18

30

结合以上三年的销量及人们生活的须要，2024年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标．

[问题](1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采纳什么方式获得直观信息？

(2)你认为该目标能够实现吗？

学问点几种常见函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)

反比例函数模型

f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)

二次函数模型

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数型函数模型

f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)

对数型函数模型

f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)

幂函数型模型

f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

分段函数模型

y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）（xm），,g（x）（x≥m）))

eq\a\vs4\al()

对于建立的各种函数模型，要能够对其进行识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累肯定数量的典型的函数模型，这是顺当解决实际问题的重要资本．

运用已知函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往须要对模型进行修正．

1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长快速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()

A．一次函数 B．二次函数

C．指数型函数 D．对数型函数

解析：选D由于一次函数、二次函数、指数型函数后期增长不会越来越慢，只有对数型函数后期增长越来越慢．

2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为________．

解析：分裂一次后为2×2＝22个，分裂两次后为4×2＝23个，……，分裂x次后为y＝2x＋1个，所以函数关系式y＝2x＋1.

答案：y＝2x＋1

建立函数模型解决实际问题

[例1]十一长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用(人工费，消耗费用等等)．受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间每天的房价增加x元(x≥0且x为10的整数倍)．

(1)设一天订住的房间数为y，干脆写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

(2)设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；

(3)一天订住多少个房间时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少元？

[解](1)y＝50－eq\f(1,10)x(0≤x≤160，且x是10的整数倍)．

(2)W＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(50－\f(1,10)x))(180＋x－20)＝－eq\f(1,10)x2＋34x＋8000(0≤x≤160，且x是10的整数倍)．

(3)由(2)得W＝－eq\f(1,10)x2＋34x＋8000＝－eq\f(1,10)(x－170)2＋10890，当x170时，W随x的增大而增大．

又0≤x≤160.

∴当x＝160时，W最大＝10880，则y＝50－eq\f(1,10)x＝34.

故一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10880元．

eq\a\vs4\al()

建立函数模型的步骤

(1)正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，驾驭对象的各种信息．依据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设；

(2)建立函数模型：在上述基础上，利用适当的数学工具来