上海市杨浦区2025届高三下学期模拟质量调研数学试卷及答案.docx

杨浦区2024学年度第二学期高三年级模拟质量调研

数学学科试卷

考生注意：

1.本试卷共5页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

一?填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）请在答题纸相应编号的空格内直接写结果.

1.已知集合，则__________.

答案

【分析】由交集的运算可得.

解析因为集合中大于1且小于4的数只有2，3，所以.

故答案为：.

2.不等式解集为______________．

答案

【分析】将原不等式等价转化为，然后解该二次不等式可得出结果.

解析不等式等价于，解得，

因此，不等式的解集为，故答案为.

【点睛】本题考查分式不等式的解法，解题的关键就是将分式不等式化为标准形式，转化为整式不等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.

3.函数的最小正周期是___________．

答案

解析的最小正周期是，

故答案为：

4.已知，则__________.

答案##

【分析】直接运用二倍角余弦公式进行求解即可.

解析因为，

所以，

故答案为：

5.已知的最大值为___．

答案

【分析】利用基本不等式求解即可

解析由基本不等式得.

故答案为：1

6.在的二项展开式中，常数项的值为__________

答案15

【分析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.

解析二项展开式通项为：

当时，

常数项为：

本题正确结果：

【点睛】本题考查二项式定理应用，属于基础题.

7.已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________.

答案

【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值.

解析在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1，

因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

表示点到原点的距离，所以的最小值为.

故答案为：

8.不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________.

答案

【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可.

解析表示到的距离，表示到的距离，它们的和为到和到的距离之和，

根据三角不等式，当位于和之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为，

所以不等式对一切实数恒成立等价于若最小值，则原式对所有恒成立，

所以或，解得或.

故答案为：.

9.植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表：

生长期

3

9

11

17

植物高度

2.4

3.4

3.8

5.2

由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为__________厘米.

答案

【分析】根据表中数据求出线性回归方程，再代入即可.

解析由题意可得，，

所以，

所以回归方程为，

所以预测生长期是30天时，植物高度约为厘米.

故答案为：.

10.如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________.

答案

【分析】根据给定条件，求出斜边上的高，再求出圆锥与半球体积的差即可得解.

解析在中，，则，

由斜边与扇形弧相切，扇形半径，

阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥，

挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球，

所以所求体积为.

故答案为：

11.如图，阿基米德椭圆规是由基座?带孔的横杆?两条互相垂直的空槽?两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为__________.厘米.

答案21

【分析】根据给定条件，确定椭圆的长短半轴长，再利用椭圆离心率求法列式计算得解.

解析依题意，当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的短半轴长，

当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的长半轴长，则，

由椭圆的离心率为，得，解得，即，解得，

所以之间的距离为21厘米.

故答案为：21

12.由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为__________.

答案

【分析】先计算点，再通过数列的增减性检验点列的变化趋势，则图形每次增加一个小三角形，设直线与直线的交点为，计算，此为增加的面积，再得出前个三角形的面积之和构成的数列的递推关系，即可利用累加法求出，再计算即可.

解析由