大学物理 Lecture4_分析力学_哈密顿正则方程.pptVIP

哈密顿正则方程由可得将F代入得所以，因此f=常数。故母函数F为由条件得所以*例9应用正则变换求解单自由度质点的线性谐振动。解：质点的质量为m，单自由度，取q为广义坐标，动能和势能为则系统为保守系统，故取母函数利用变换关系有*联立上式，可解得因母函数不显含时间t，因此有H=H*将q,p代入H函数则H*=P，由此可见，经过变换后的Hamilton函数更简洁，且存在循环坐标Q。对应新变量的正则方程为积分上式，得*则H*=P=E即为系统的总机械能，系统的振动规律为由上述求解过程可以看出，正则变换后的广义坐标Q和广义动量P分别为时间t和总机械能，已不再具有原来的意义了。*§5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换用Lagrange括号判别正则变换用poisson括号判别正则变换*用Lagrange括号判别正则变换1．Lagrange括号定义考虑如下变换方程令(q?,pβ)为旧变量中的任意两个，定义Lagrange括号为2．用Lagrange括号判定变换为正则变换当母函数F如不含时间t时，正则变换的充要条件为*即变换若为正则变换，方程左边必构成某一函数的全微分。因为所以判别方程的左边要使上式成为全微分的条件是必须同时满足以下三组恒等式*用Lagrange括号判别正则变换证:(10)如果θ=θ(qj,pj,t)(j=1,2,…,k)，则有泊松恒等式和雅可比恒等式,轮换可得到类似式，从而得证。泊松括号*用泊松括号表示的正则方程根据泊松括号的定义，有其中因此同理可得对一完整系统受有势力作用时，其正则方程为:于是就可得到用泊松括号表示的正则方程为:*用泊松括号判断系统的首次积分设系统的首次积分为则有首次积分应为正则的一个解，式中，应均满足正则方程，即将正则方程代入上式df/dt用泊松括号表示的正则方程*利用泊松括号，则上式可写成此式即为正则方程的首次积分所应满足的充要条件。如果f不显含时间t，则即如函数f满足泊松括号条件，则函数即为正则方程的首次积分用泊松括号表示的正则方程*例4质量为m的质点M在稳定的势力场中运动，其势能函数为V=V(x,y,z)，试求它对质直角坐标轴Oxyz的三轴的动量矩Lx、Ly,、Lz与Hamilton函数H所构成的泊松括号：(Lx,H),(Ly,H),(Lz,H)。解：取x,y,z为广义坐标，因为是保守系统，Hamilton函数系统动能势能所以广义动量（勒让德变换）:则从而用泊松括号表示的正则方程*质点的动量矩则因为对应于广义坐标x,y,z的广义力Fx,Fy,Fz与势能函数V有如下关系:用泊松括号表示的正则方程*这样同理可得如果有势力为有心力，并令坐标原点取在力心，则因此由泊松括号性质1可得为正则方程的首次积分，即质点M在运动过程中Lx、Ly,、Lz都保持恒量，这实际上就是熟知的质点在有心力作用下运动时，对力心的动量矩在三个直角坐标轴方向分别守恒。用泊松括号表示的正则方程*泊松定理（雅可比-泊松定理）定理：已知函数：?(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C1和函数ψ(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C2是正则方程的首次积分，则函数(?,ψ)=C3也是它的首次积分。(?,ψ)为函数?及ψ所构成的泊松括号。证明：已知?(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C1和ψ(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C2是正则方程的首次积分，因此则*由泊松括号性质(10)，函数H,?,ψ构成泊松恒等式：可得则即可推得即