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拓扑学基础（数学教育本科）试卷

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1、设X是拓扑空间，A、BX，则下列等式成立的是

A、Ｂ、

Ｃ、Ｄ、

2、设Ｒ是实数空间，A=（0，1）是开区间，则

A、B、C、D、

3、如果拓扑空间X中每一个单点集都是闭集，那么

A、X是T0空间，非T1空间B、X是T1空间

C、X是正则空间D、X是正规空间

4、下列哪个条件成立时，拓扑空间X是连通空间

A、X中不存在两个非空的开子集A、B，使得：，且成立

B、X中存在两个非空的闭子集A、B，使得：且成立

C、X中存在着一个既开又闭的非空真子集

D、存在X的子集A、B，使得X=

5、设R是实数空间，X是含多于一点的离散空间，则

A、R是道路连通空间B、X是道路连通空间

C、R是不连通空间D、X是连通空间

6、下列拓扑空间中，哪个空间不是可分空间

A、实数空间B、平庸空间C、包含着不可数多个点的离散空间

D、满足第二可数性公理的空间

7、下列有关满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴含关系中，能成立的是

A、正规正则B、正则正规C、正则T2D、完全正则正则

8、下列拓扑性质中，哪一个是可遗传性质

A、第一可数性B、连通性C、紧致性D、可分性

9、关于几种紧致性，下列蕴含关系哪一个成立

A、可数紧致紧致B、紧致可数紧致

C、列紧紧致D、局部紧致紧致

10、下列命题错误的是

A、A是闭集B、A是闭集

C、A是闭集是开集D、A是闭集

二、填空题（每空2分，共20分）

11、集合X是一个可数集当且仅当存在从正整数集Z+到集合X的一个。

12、设X和Y是两个拓扑空间，如果存在一个同胚f：X→Y，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是。

13、设X是一个拓扑空间，，则A是一个闭集当且仅当。

14、设Y是拓扑空间X的一个子空间，如果是拓扑空间X的一个基，则是子空间Y的一个基。

15、设X是一个拓扑空间，如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个空间。

16、Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有个极限点。

17、属于X的同一个连通分支当且仅当。

18、设X和Y是两个拓扑空间，其中满足第一可数性公理，，则映射f：X→Y，在点处连续的充分必要条件是：如果X中的序列收敛于，则Y中的序列收敛于。

19、设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y，如果，则称f是从X到Y的一个连续映射。

三、名词解释题（每小题4分，共20分）

20、拓扑空间

21、同胚映射

22、满足第二可数性公理的空间（即A2空间）

23、正则空间

24、可数紧致空间

四、判断题（每小题2分，共12分）

（）25、任何可数集的任一个子集都是一个可数集。

（）26、任何一个集合都有选择函数。

（）27、每一个离散空间都是可度量化的。

（）28、有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个连通空间。

（）29、每一个满足第一可数性公理的空间都满足第二可数性公理。

（）30、实数空间R是一个紧致空间。

五、解答与证明题（每小题7分，共28分）

31、设，试问X的下列子集族是否为X的拓扑？并简要说明理由。

（1）

（2）

32、设X是一个拓扑空间，、，试证：

33、试证：紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集。

34、设X是一个拓扑空间，若对于任何点和的任何一个开邻域U，存在X的一个开邻域V使得，试证X是一个正则空间。