重难点11 利用导函数研究函数的零点(方程的根)（6题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（北京专用）（原卷版） .pdf

重难点11利用导函数研究函数的零点（方程的根）

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向预测

2024年，第20题，考察函数的零点情况利用导数研究函数零点是导数应用的重点，常涉及函

数单调性，函数图象，通常转为两个函数，根据图

象，画出图象（画图常涉及极限）

重难点题型读

隐零点的应用证明函数的零点个数

利用导函数研

根据零点（根）的个数求参

究函数的零点判断（讨论）零点的个数

数范围

（方程的根）

利用两个函数图象交点石开究三角函数的零点问题

函数零点（方程的根）

题型1证明函数的零点个数

!利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式等函数零点的个数（或方程根的个数问

题的一般思路：

（1可转化为用导数研究其函数的图象与、轴（或直线y=们在该区间上的交点问题；

（2利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值（最值、端点值等性质，进而画出其图象；

（3结合图象求解.

1.（2024•北京海淀•二模已知函数f（x=ln（x—Q+2j3：f（。＞0.

⑴若。=1，

①求曲线y=f（x在点（2J（2处的切线方程;

②求证：函数恰有一个零点；

（2若f（x＜ln^+2（2对xg（g,3g）恒成立，求i的取值范围.

2.(2024-江苏•模拟预测)已知函数，⑴=】lnx+J+3在x=l处的切线经过原点.

(1)判断函数，3)的单调性；

⑵求证：函数/J)的图象与直线y=5x有且只有一个交点.

3.(2024-全国•模拟预测)已知函数fM=(x-l)2ex-axf且曲线y-f(x)在点(0,/(x))处的切线方程为

y=—2x+b.

(1)求实数〃，人的值;

(2)证明：函数W3)有两个零点.

4.(2023-四川南充•一模)设函数/(x)=(x-l)ex-x-l(e为自然对数的底数)

⑴求f⑴在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)证明：有且仅有两个零点知入2，且入1+工2=。.5

5.(2024•江西新余•模拟预测)已知函数f(x)=-alnx+(2a+l)x-x2.

(1)若求了3)在a/a))处的切线方程.

(2)讨论了⑴的单调性.

(3)求证：若i〉0,/*(尤)有且仅有一个零点.

题型2判断(讨论)零点的个数

TS忑篇三工注齿靠而昴E荼云/鬲薮兀孑街南覃函数为r(x),函数r(x)的导函数是了〃⑴,

已知函数/*3)=X，-4ax2-3a2x+2.

⑴若f〃⑷=0,求〃的值和函数/(%)的单调区间；

(2)若r(m)=0(m0),讨论f(x)的零点个数.

2.(2025•贵州六盘水•一模)已知函数/(x)=ex-fl+cosx+Z?.

(1)当】=0时，证明函数f(x)在(0,+8)单调递增；

(2)若函数f(x)在兀［有极值，求实数。的取值范围；

⑶若函数以x)的图象在点(2兀,/(2兀))处的切线方程为工-y-2兀=0,求函数fJ)的零点个数.

3.(2025-山东•模拟预测)已知函数f(x)=x2lwc-ax2+€z,(2gR.

⑴当】=1时，求了⑴在区间［l,e］上的最值;

(2)讨论f(x)的零点个数.4

4.(2023-24高三下•河南•阶段练习)已知函数e)=m(*T).

x—