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第二节微积分基本公式一、问题的提出二、积分上限函数三、牛顿－莱布尼兹公式四、小结

变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为问题的提出上式表明,速度函数v(t)在区间[T1,T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1,T2]上的增量.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？12345

考察定积分01记02积分上限函数03积分上限函数及其导数04定义05

2.积分上限函数的性质证

由积分中值定理得连续函数的积分上限函数的导数等于其本身。

推论的重要意义：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的,另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.01就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.02推论03如果在上连续，则积分上限的函数04

补充证

例1.求下列函数的导数

例2求(1)解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.

解解=－1

证例3.

01证02令03例4.

定理3（微积分基本公式）证牛顿—莱布尼茨(N-L)公式

令0102令03牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式

注意微积分基本公式表明：被积函数不连续，不能直接应用基本公式，但可利用区间可加性进行计算.求定积分问题转化为求原函数的问题.0102

例5求原式例6设,求.解解

由图形可知例7求解

例9解例8求解面积

解=ln2例10求

例11求解

例12汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a??5m/s2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？提示：首先要计算从开始刹车到停车所需的时间T,然后计算速度v(t)在时间区间[0,T]上的定积分.t?2(s).当汽车停止时,有v(t)?v0?at?10?5t.刹车后t时刻汽车的速度为v(t)?10?5t?0,汽车刹车时的初速度为解

于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为

积分上限函数积分上限函数的导数微积分基本公式牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．123五、小结

思考题

思考题解答

=0=0习题=1