解三角形图形类问题 专项练 2025年高考数学一轮复习备考.docxVIP

解三角形图形类问题专项练

2025年高考数学一轮复习备考

1．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．

(1)求的周长的取值范围；

(2)若的内切圆半径，求的面积S.

2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求；

(2)若，求内切圆半径取值范围．

3．如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，．

(1)求角；

(2)若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积．

4．如图，在梯形中，，．

(1)若，求周长的最大值；

(2)若，，求的值．

5．在中，已知．

(1)求．

(2)若，的平分线交于点，求．

6．已知函数，角A为△ABC的内角，且．

(1)求角A的大小；

(2)如图，若角A为锐角，，且△ABC的面积S为，点E、F为边AB上的三等分点，点D为边AC的中点，连接DF和EC交于点M，求线段AM的长．

7．在中，角，的对边分别为，的面积为，．

(1)求角．

(2)若的面积为，，为边的中点，求的长．

8．在中，．

(1)求的长；

(2)求边上的高．

9．在中，角的对边分别为．

(1)求；

(2)若的面积为边上的高为1，求的周长．

10．在中，内角所对的边分别为，且满足．

(1)求；

(2)若边上的高为，求．

参考答案：

1．(1)

(2)

（1）由及余弦定理得，

，即，

所以．

又，所以，

所以由正弦定理得，

所以，，

则

，

又因为，所以，所以，

即，即，

故的周长的取值范围为；

（2）解法一：

由（1）得，因为，

，，所以，

由得，

从而，

即，

解得或（舍去），

所以．

解法二：

如图，设圆O是的内切圆，各切点分别为D，E，H．

由（1）知，所以．

又因为，

所以由切线长定理得，

于是，，

又，即，

所以．

2．(1)；

(2)

（1）由题意得，即，，故．

（2）因为，为内切圆半径，

所以．

设，则，

又因为，，，，

所以三角形内切圆半径的取值范围为．

3．(1)

(2)

（1）解：由，联立方程组，解得，

不妨设，可得

由余弦定理得，

因为，所以.

（2）解：由，由（1）知，可得，

因为过作的垂线并延长到点，使四点共圆，

在直角中，可得，则，

因为，可得，

在直角中，可得，即，

所以，

所以，

所以四边形的面积为.

4．(1)

(2)

（1）解：在中，

，

因此，当且仅当时取等号．

故周长的最大值是．

（2）解：设，则，．

在中，，

在中，．

两式相除得，，，

因为，

，

，故．

5．(1)；

(2)．

（1）解：因为，

又，

所以．又，所以，所以．

因为，所以．

（2）解：设，则．

由余弦定理，得，故．

由角平分线的性质及三角形的面积公式，知，故．

在中，由正弦定理，得．

因为，所以，所以．

因为，所以，所以，即．

又，所以为锐角，故．

6．(1)或

(2)

（1）

，

则，

因为，所以，所以，

所以或；

（2）若角A为锐角，则，

设角的对边分别为，

则，所以，

如图，连接，

因为点E、F为边AB上的三等分点，所以为的中点，

因为点D为边AC的中点，所以点为的重心，

则，

所以，

又，

所以，

即线段AM的长为．

7．(1)

(2)

（1）由题意得

，

由正弦定理，得，即，

所以．又，所以．

（2）因为的面积为，

所以，所以．

因为，所以，

即，所以．

因为是边的中点，所以，

所以，

所以，所以的长为．

8．(1)4

(2)

（1）由题，，，，由余弦定理得，

，解得，即.

（2）在中，，，设边上的高为，

则，即，解得.

所以边上的高为.

9．(1)

(2)

（1）因为，

由正弦定理，得，

即，即.

因为在中，，

所以.

又因为，所以.

（2）因为的面积为，

所以，得.

由，即，

所以.由余弦定理，得，即，

化简得，所以，即，

所以的周长为.

10．(1)

(2)或.

（1）由正弦定理有，

有，

又由余弦定理有；

（2）由得，

又由余弦定理和，有，

，

又由边上的高为2，有，

有，可得，

有，可得，

联立方程组，解得或.