猜押09 北京高考数学21题 数列新定义-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（北京专用）（解析版）.docx

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猜押09北京高考数学21题数列新定义

考点

3年考题、题号

考查内容

考情分析

难度

数列新定义

2022/21

“连续可表数列”的定义判断、证明，求最小正整数k

围绕“连续可表数列”新定义，考查定义理解、数列构造及逻辑证明能力，需通过实例验证与推理完成判断和证明。

困难

2023/21

数列新定义下的特定值求解、通项公式推导、存在性证明

结合新定义规则，先进行求值与通项归纳，再利用反证法等完成存在性证明，综合考查数学抽象与逻辑推理能力。

困难

2024/21

数列变换新定义的操作规则应用、存在性判断、充要条件证明

深入理解数列变换规则，分析变换结果，通过严谨的逻辑推导证明充要条件，强调新定义下的数学论证深度。

困难

2025年预测：继续聚焦数列新定义题型，定义形式可能更具创新性（如数列的复杂变换、性质组合），考查内容围绕新定义的理解、数列构造、逻辑证明（如存在性、充要条件）展开，强化对数学抽象、逻辑推理核心素养的考查，题型保持高综合性与思维难度，注重学生对新信息的吸收转化能力与严谨的论证表达。

【数列新定义真题回顾】

1．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．

(1)给定数列和序列，写出；

(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；

(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．

【答案】(1)

(2)不存在符合条件的，理由见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）直接按照的定义写出即可；

（2）解法一：利用反证法，假设存在符合条件的，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；解法二：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，可知序列共有8项，可知：，检验即可；

（3）解法一：分充分性和必要性两方面论证；解法二：若，分类讨论相等得个数，结合题意证明即可；若存在序列，使得为常数列，结合定义分析证明即可.

【详解】（1）因为数列，

由序列可得；

由序列可得；

由序列可得；

所以.

（2）解法一：假设存在符合条件的，可知的第项之和为，第项之和为，

则，而该方程组无解，故假设不成立，

故不存在符合条件的；

解法二：由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，

假设存在符合条件的，且，

因为，即序列共有8项，

由题意可知：，

检验可知：当时，上式不成立，

即假设不成立，所以不存在符合条件的.

（3）解法一：我们设序列为，特别规定.

必要性：

若存在序列，使得的各项都相等.

则，所以.

根据的定义，显然有，这里，.

所以不断使用该式就得到，必要性得证.

充分性：

若.

由已知，为偶数，而，所以也是偶数.

我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最小的一个.

上面已经说明，这里，.

从而由可得.

同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从而和都是偶数.

下面证明不存在使得.

假设存在，根据对称性，不妨设，，即.

情况1：若，则由和都是偶数，知.

对该数列连续作四次变换后，新的相比原来的减少，这与的最小性矛盾；

情况2：若，不妨设.

情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾；

情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾.

这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的都有.

假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为.

则此时对任意，由可知必有.

而和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进行一次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，比原来的更小，这与的最小性矛盾.

综上，只可能，而，故是常数列，充分性得证.

解法二：由题意可知：中序列的顺序不影响的结果，

且相对于序列也是无序的，

（ⅰ）若，

不妨设，则，

①当，则，

分别执行个序列、个序列，

可得，为常数列，符合题意；

②当中有且仅有三个数相等，不妨设，则，

即，

分别执行个序列、个序列

可得，

即，

因为为偶数，即为偶数，

可知的奇偶性相同，则，

分别执行个序列，，，，

可得，

为常数列，符合题意；

③若，则，即，

分别执行个、个，

可得，

因为，

可得，

即转为①，可知符合题意；

④当中有且仅有两个数相等，不妨设，则，

即，

分别执行个、个，

可得，

且，可得，

因为为偶数，可知的奇偶性相同，

则为偶数，

且，即转为②，可知符合题意；

⑤若，则，即，

分别执行个、个，

可得，

且，可得，

因为为偶数，

则为偶数，

且，即转为④，可知符合题意；

综上所述：若，则存