猜押05 北京高考数学17题 立体几何-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（北京专用）（解析版）.docx

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猜押05北京高考数学17题立体几何

考点

3年考题、题号

考查内容

考情分析

难度

立体几何的运算

2022/17

证明线面平行线面角的向量求法

结构不良

以三棱柱为模型，通过构造面面平行证明线面平行，结合条件选择问题，利用空间向量求线面角，强调条件分析能力与向量运算的精准度。

中

2023/16

证明线面垂直

面面角的向量求法

以三棱锥为背景，先利用线面垂直性质与勾股定理证明线面垂直，再通过空间向量求二面角，突出线面垂直判定逻辑与向量计算的结合。

中

2024/17

证明线面平行

面面角的向量求法

以四棱锥为载体，先通过构造平行四边形证明线面平行，再建立空间直角坐标系求面面角，侧重线面平行判定定理与空间向量运算能力的综合考查。

中

2025年预测：延续考查立体几何中平行、垂直关系的证明（如线面平行、线面垂直），以及利用空间向量求角（线面角、面面角），可能融入开放条件选择，强化逻辑推理与计算的综合应用。

【立体几何真题回顾】

1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．

(1)若为线段中点，求证：平面．

(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值.

【详解】（1）取的中点为，接，则，

而，故，故四边形为平行四边形，

故，而平面，平面，

所以平面.

（2）

因为，故，故，

故四边形为平行四边形，故，所以平面，

而平面，故，而，

故建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

则

设平面的法向量为，

则由可得，取，

设平面的法向量为，

则由可得，取，

故，

故平面与平面夹角的余弦值为

2．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

??

(1)求证：平面PAB；

(2)求二面角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；

（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.

【详解】（1）因为平面平面，

所以，同理，

所以为直角三角形，

又因为，，

所以，则为直角三角形，故，

又因为，，

所以平面.

（2）由（1）平面，又平面，则，

以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

??

则，

所以，

设平面的法向量为，则，即

令，则，所以，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，所以，

所以，

又因为二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为.

3．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．

(1)求证：平面；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面.

（2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.

【详解】（1）取的中点为，连接，

由三棱柱可得四边形为平行四边形，

而，则，

而平面，平面，故平面，

而，则，同理可得平面，

而平面，

故平面平面，而平面，故平面，

（2）因为侧面为正方形，故，

而平面，平面平面，

平面平面，故平面，

因为，故平面，

因为平面，故，

若选①，则，而，，

故平面，而平面，故，

所以，而，，故平面，

故可建立如所示的空间直角坐标系，则，

故，

设平面的法向量为，

则，从而，取，则，

设直线与平面所成的角为，则

.

若选②，因为，故平面，而平面，

故，而，故，

而，，故，

所以，故，

而，，故平面，

故可建立如所示的空间直角坐标系，则，

故，

设平面的法向量为，

则，从而，取，则，

设直线与平面所成的角为，则

.

【2025年押题预测题型一】：线面角及其应用

1．（2024·北京·三模）如图，在正方体中，分别是棱的中点.

(1)求证：四点共面；

(2)求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，利用平行关系可得四点共面，四点共面，再根据过不共线的三点的平面具有唯一性，即可证明；

（2）建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量，利用向量法求解即可.

【详解】（1）如图，取的中点，连接，

因为分别是棱的中点，

所以，，所以，四点共面，

又，，所以，四点共面，

又因为过不共线的三点的平面具有唯