巧用勾股定理的逆定理专题提优特训8 提优训练 （含答案）2024-2025学年沪科版八年级数学下册.docx

巧用勾股定理的逆定理专题提优特训8

题型1用于判断三角形的形状

1.在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.若a

求证：△ABC是直角三角形.

2.如图，在正方形网格中(每个小正方形的边长都是一个单位长度)，建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)在图中描出A(2,-2),B(-4,6),C(6,1),连接AB,BC,AC,试判断△ABC的形状;

(2)求△ABC的面积.

3.如图,△ABC内部有一点D,且∠ADC=90°,AB=13,BC=12,AD=4,CD=3.

(1)判断△ABC的形状;

(2)求四边形ABCD的面积.

4.如图所示，△ABC的周长是4+26,

(1)△ABC是直角三角形吗?请证明你的结论.

题型2用于求边的长度

5.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5.若P为线段AC上一点,连接BP,且BP=CP,求AP的长.

6.如图,在四边形ABCD中,AC和BD是其对角线,∠BAD=90°,AB=AD=2,∠ABC=135°.

(1)BD的长为;

(2)若BC=2

题型3用于求角的度数

7.如图，在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=AB=2,BC=2,CD=

A.120°B.135°

C.150°D.105°

8.[问题提出]

角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定.

[问题解决]

(1)如图(1),点P是等边三角形ABC内的一点,PC=3,PB=4,PA=5.小强将△BPC绕点B逆时针旋转60°,得到△BPA,连接PP,从而求出∠BPC的度数.请你写出小强的求解过程.

[问题延伸]

(2)在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定.如图(2),PC=3,PB=4,PA=5,求∠BPC的度数.

[拓展应用]

(3)如图(3),在正方形ABCD内有一点P,PC=3,PB=22

1.由题可知aa?b+c=12a+b+cc,

2.(1)如图.A

A

B

则A

∴△ABC是直角三角形.

(2)由(1)可知,AB=100=10,AC=25

归纳总结本题考查的是勾股定理的逆定理、坐标与图形性质，能够用平面内两点的坐标求这两点之间的距离和运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解题的关键.

3.(1)∵∠ADC=90°,AD=4,CD=3,

∴在△ADC中，根据勾股定理，得AC2

∵AB=13,BC=12,

∴A

∴A

根据勾股定理逆定理可知，△ABC是直角三角形.

(2)四边形ABCD的面积=S△ABC

故四边形ABCD面积为24.

4.(1)△ABC是直角三角形.证明如下:

∵BC=

∴B

∵A

∴B

∴△ABC是直角三角形.

(2)如图,过点C作CH⊥AB于点H,连接EH,

∴

∴CH=

∵DE⊥AB,CH⊥AB,

∴DE∥CH,∴∠DEC=∠HCE.

∵∠B+∠A=90°,∠B+∠HCB=90°,

∴∠A=∠HCB.

∵AD=CD,∴∠A=∠ACD,

∴∠HCB=∠ACD.

∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE,

∴∠HCE=∠DCE,∴∠DEC=∠DCE,

∴CD=AD=DE.

在Rt△ACH中,AH=AC2?C

∴DH=

∴

5.∵AB=3,AC=4,BC=5,32+42=52,

∴A

∴△ABC是直角三角形,且∠A=90°,

∴在Rt△ABP中,A

∵BP=CP,AP+CP=AC=4,AB=3,

∴

6.(1)22[解析]∵∠BAD=90°,AB=AD=2,∴BD=

(2)如图,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.

∵∠ABC=135°,

∴∠CBE=18

∴△BCE是等腰直角三角形.

∵BC=

∴AE=AB+BE=3,

∴AC=

∴BD:AC=2

思路引导本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的性质及判定，解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理解决问题.(1)由勾股定理直接求出BD的长；

(2)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.先证明△BCE是等腰直角三角形，再用勾股定理求出AC的长,最后求出BD:AC.

7.B[解析]如图,连接BD.

∵∠A=90°,AD=AB=2,

∴∠ABD=∠ADB=45°,BD2=8.

∵BC=

∴BC2

∴△BCD是直角三角形,∠DBC=90°,

∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°+90°=135°,即∠ABC的度数是135°.故