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一元二次方程与三角形的综合应用专题提优特训5

题型1一元二次方程与三角形三边关系的综合应用

1.一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2?6x+8=0的根，则这个三角形的周长为

2.若方程(x?1x2?2x+m

3.已知关于x的一元二次方程x

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值.

4.根据一元二次方程根的定义，解答下列问题.

一个三角形两边长分别为3cm和7cm，第三边长为acm，且整数a满足a2

解：由已知可得4a10且a为整数，则a可取5,6,7,8,9.(第一步)

当a=5时，代入a2

同理可知a=6,a=8,a=9都不是方程的根.

∴a=7是方程的根.(第二步)

∴△ABC的周长是3+7+7=17(cm).

上述过程中，第一步的根据是什么?第二步应用了什么数学思想，确定a的值的根据是什么?

题型2一元二次方程与等腰三角形的综合应用

5.若等腰三角形ABC的两边分别为方程(x—2)(x--3)=x-2的两个根,则△ABC的周长为().

A.7B.10C.7或8D.8或10

6.方程x2?9x+20=0的两个根分别为x?，x?，是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长是7.设三角形ABC的三边为a,b,c,方程4x

(1)求证:△ABC是等边三角形;

(2)若a,b为方程x2-2kx+(--2k+3)=0的两根，求k的值.

8.(1)已知aa+1

(2)已知等腰三角形ABC的两边分别为a，b，且a，b满足a2

9.已知关于x的方程k

(1)求证：无论k取任意实数，方程总有实数根；

(2)若等腰三角形ABC的两腰长b，c恰好是这个方程的两个根，求第三边a的取值范围.

10.已知关于x的方程(x?k

(1)求证：无论k取何实数，这个方程总有实数根；

(2)若这个方程的两个实数根x?,x?满足|x?-x2

(3)当等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边长b，c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长.

题型3一元二次方程与动态几何的综合应用

11.中考新考法动点问题(2024·云南文山州月考)如图，在△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8.点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.设P,Q分别从A，B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动.解答下列问题：

(1)填空:BQ=cm,PB=cm(用含t的代数式表示).

(2)经过几秒,△PBQ的面积等于8cm2?

(3)是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积?若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由.

一元二次方程与三角形的综合应用

1.12[解析]x2?6x+8=0转化为(x-2)(x-4)=0,x-2=0或.x--4=0,所以.

2.34m≤1

∴x-1=0或x

∴原方程的一个根为1.

设x2

则△=4-4m≥0,a+b=2,ab=m.

又∣a?b∣=

∴0≤4-4m1,解得3

3.(1)∵△=[?(2k+1)]

2

(x-k)[x-(k+1)]=0,

∴

即△ABC的另外两边的长为k,k+1.

当AB=BC时，即k=4，满足三角形构成条件；

当AC=BC时,即k+1=4,解得k=3,满足三角形构成条件.

综上所述,k=4或k=3.

4.第一步的根据是三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，第二步应用了分类讨论的数学思想，确定a的值的根据是方程根的定义.

5.B[解析]解方程(x-2)(x-3)=x-2,移项,得(x-2)(x-3)--(x-2)=0,整理,得(x--2)(x-4)=0,解得x1

易错警示本题综合考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，先解方程得到方程的解，然后根据三角形三边关系确定等腰三角形的腰长和底边长，最后三边相加得到三角形的周长.较易出现错误的是没有考虑三角形三边关系，得到腰长为2，底边长为4的错误答案.

6.13或14[解析]解方程x2?9x+20=0,因式分解得(x-4)(x--5)=0,解得

■方法诠释本题考查一元二次方程解法和等腰三角形性质.先解方程得到方程的根，然后分两种情况确定等腰三角形的底边长和腰长，从而计算出三角形的周长.

7.(1)∵方程4x

∴△=(4a

∵3a-2c=b,∴3(2b--c)-2c=b,即b=c,

将b=c代入a=2b