巧用一元二次方程根的性质解题专题提优特训3提优训练 （含答案）2024-2025学年沪科版八年级数学下册.docx

巧用一元二次方程根的性质解题专题提优特训3

题型1确定方程中的参数

1.设x?,x?是方程x2?3x+m=0的两个根，且x1

2.已知x=n是关于x的一元二次方程mx2?4x-5=0的一个根,若

题型2求代数式的值

3.若m,n是方程x2+2x?2024=0的两个实数根，则

A.2023B.-2022C.2024D.2022

4.已知:α,β是方程x2

(1)α+β(α+1);

2

题型3求公共根的问题

5.已知方程x2+a1x+

求证：这两个方程的另两个根(除公共根外)是方程x2

题型4证明等式

6.已知x?,x?是方程ax2+bx+c=0a≠0的两根，记

配方法的应用

题型1用于解一元二次方程

1.用配方法解方程x2

A.x+22=3

C.x?22=1

2.用配方法解方程：2

题型2用于因式分解

3.阅读下面内容，再解决问题.

在把多项式m2

m2?4mn?12n2=

(1)把多项式因式分解：a

(2)已知a,b,c为△ABC的三条边长,且满足4a

题型3用于求代数式的值

4.设a,b为整数,且a2?2a+b2

5.设mn0,m2+n

6.已知a?b=3+2,b?c=

题型4用于求一元二次方程中的待定系数

7.若方程25x

A.-9或11B.-7或8

C.-8或9D.-6或7

8.已知方程x2

题型5用于判断三角形的形状

9.阅读材料：若m2?

解：∵

∴

∴m?n2

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)若a2+b2+6a?2b+10=0,

(2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足2a

(3)已知a,b,c分别是△ABC三边的长且2a

题型6用于求代数式的最值

10.证明：无论x为何值，代数式2x

11.如图，现有一条长为27m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设垂直于墙的边AB长为xm,花圃的面积为Sm2.

(1)用含x的代数式表示S.

(2)若围成面积为54m2的花圃,求AB的长.

(3)能围成面积为63m2的花圃吗?如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由.

题型7用于比较两个代数式值的大小

12.阅读下列材料：

“a

x2+4x+5=x

试利用“配方法”解决下列问题：

(1)填空:x2--6x+12=(x-)2+;

(2)已知a,b,c是△ABC的三边长,满足a2+

(3)比较代数式x2

题型8用于解特殊的方程

13.解方程:x

14.求方程x2

15.探索方程x4

题型9用于判断方程根的情况

16.已知△ABC的三边长为a,b,c,且满足方程a2

题型10用于数值的正负性的判断

17.已知M=3x

1.2[解析]由根与系数的关系，得x1+x2=3,

2.将x=n代入方程，得mn2?4n?5=0,即mn

3.D[解析]∵m,n是方程.x2

∴m

单关键提醒本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将所求的代数式变形，灵活运用根的定义以及根与系数的关系是解题的关键.

4.∵α,β是方程x2

∴α+β=?2,α?β=?4,

1

2α

■解后反思本题考查了根与系数的关系，解题的关键是把求值的代数式转化成含α+β与α·β的式子.

5.设方程x2

方程x2

则α

①--②,得(a

∵两个方程只有一个公共根，∴a1≠a2

所以β=

∵β2+a

∴β,γ是方程x2

6.∵x?,x?是方程ax

∴a

∴a

=a

=

=

∴a

专题提优特训4配方法的应用

1.D[解析]·.:x2?4x=1,∴

■方法诠释本题考查了解一元二次方程的配方法，能正确配方是解此题的关键.先移项，再根据完全平方公式进行配方，变形后得出选项即可.

2∵2

∴

∴x?1=±

3.1a

2b

24a2?4ab+2b2+3

思路引导(1)先由ab前系数确定需要的b2前的系数，加4b2同时减44b2,构成a?3b2

∴

∴

方法诠释运用配方思想解二元二次方程，要重点关注各项的系数，可以将其拆分、拼凑，使其成为平方数，以便运用完全平方公式a2

14.原方程可变为x2?6xy+9y

∵

解得-5≤y≤5.

由y为正整数，知y可取1，2，3，4，5，代入方程，则共有5组正整数解分别为{

15.设x2=y,那么

∴原方程可变为y

解这个方程，得y

当y=2时,x

当y=3时,x

∴原方程有