高中数学新课标学案：第课时二项式系数的性质.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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1.3二项式定理

第二课时二项式系数的性质

一、课前准备

1．课时目标

（1)了解杨辉三角的构成；

(2)会用二项式系数的常见性质；

（3)能应用赋值法解决二项式系数或系数的和差问题.

2．基础预探

1．二项式系数组成的杨辉三角：

其规律是:表中每行两端都是1，而且除1以外的每个数都等于它肩上的两个数的。

事实上，设表中任一不为1的数为，那么它肩上的两个数分别为和，由组合数的性质可知:+.

2．二项式系数的性质

(1）对称性：与首未两端的两个二项式系数相等.

(2）增减性与最大值：当为偶数时，中间的一项二项式系数取得最大值；当为奇数时,中间的两项的二项式系数、相等,且同时取得最大值。

(3）各二项式系数和：,

，

二、学习引领

1.二项式的系数和的意义

二项式系数和可以这样理解记忆：若集合S含有n个元素，那么它的所有子集的个数为2n个,也即从n个不同元素中每次取出0个、1个、2个……n个元素的所有集合数的总和为2n个.写成式子即.

2.二项式定理中赋值法的应用

由于二项式定理表示的是一个恒等式，在二项展开式中，有关系数和或组合数和的问题，可对照二项展开式,对ａ、ｂ赋以特殊值，从而得到不用的组合。一般常见的赋值有三种，将二项式的展开式中的未知数都赋值为1可以得到所有项的系数和，赋值为-1得到奇次项与偶次项的系数差，赋值为0则可得到常数项.根据题目的需要，可以赋一个值或者多个值进行构造.奇次项的系数和为，偶次项的系数和为.

三、典例导析

题型一二项式系数和问题

例1已知展开式中二项式系数之和为128，求展开式中的系数.

思路导析：根据二项式系数和的公式求得n的值，再利用二项式展开式求得的系数.

解:由展开式中各项二项式系数之和，所以有。

所以展开式中项的系数为。

规律总结：要记住常见的三个二项式系数和：所有项的二项式系数和为，奇数项二项式系数和、偶数项二项式系数和都为。常利用上述公式直接求得某二项式的二项式系数和或者逆用求得二项式n的值。

变式训练：在展开式中,所有奇数项之和为1024，则中间项系数是___________.

题型二赋值法求二项展开式的系数和

例2若，则

思路导析：只需令x=1可得，再令得，从而可以构造得到.

解：令，令得

所以

方法规律：赋值法是解决二项展开式中系数和差问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可通过简单的赋值得到解决，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值,解决问题时要避免漏项等情况。一般情况下赋值优先考虑0,等几个特殊值.

变式训练:已知其中是常数，计算

题型三：有关系数或二项式系数最大项问题

例3求的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

思路导析:二项式系数的最大项就是中间那项对应的组合数,但系数的最大值还要分析式子的正负.

解：由于展开式中共有11项,所以二项式系数最大的项是，

且中的二项式系数等于项的系数的相反数,

此时的系数最小.

而，，且

所以系数最大的项是第5项和第7项.

方法规律：（1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.（2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,还需根据各项系数的正、负的变化情况分析。

变式训练:已知展开式中的二项式系数的和比展开式的二项式系数的和大,求展开式中的系数最大的项和系数量小的项

四、随堂练习

1．在的二项展开式中，若只有的系数最大，则（)

A．8B。9C。10D。11

2．二项展开式中与第r项系数相等的项是（）

A。第n—r项B.第n-r-1项

C.第n-r+1项D。第n—r+2项。

3。若,则的值为（）

ABCD

4.若展开式的各项系数之和为32，则

5.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行，…,第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．

第1行11

第2行101

第3行1111

第4行10001

第5行110011

………