高中数学新课标学案：第课时离散型随机变量的方差.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2。3第二课时离散型随机变量的方差

一、课前准备

1．课时目标

(1）理解离散型随机变量的方差的定义;

(2)能熟练应用离散型随机变量的方差公式求方差；

(3）能熟练应用二项分布、两点分布、超几何分布的方差公式求方差。

2．基础预探

1．设离散型随机变量X的分布列为

X

…

…

P

…

…

则描述了相对于均值EX的偏离程度，而________。为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差。其算术平方根为随机变量X的标准差,记作_______.

2。两点分布:若X服从两点分布，则_______.

3.二项分布：若，则__________.

二、学习引领

1.随机变量方差的意义

①随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值相对于它的均值EX的稳定与波动、集中与离散的程度。②DX越小，稳定性越高，波动越小。③显然DX≥0,且标准差与随机变量本身有相同单位。④由方差的定义可知，计算方差DX必须先求均值E（X），并且由此定义进一步可得到公式。。

2.随机变量的方差与样本方差的关系

随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随着抽样样本而客观存在；样本方差则是随机变量,它是随样本不同而变化的.对于简单随机样本,随着样本容易的增加,样本方差越来越接近于总体方差.

3.求随机变量的方差的步骤

①分析试验的特点,若为两点分布、二项分布，则直接套用公式；②否则，根据题意设出随机变量，分析随机变量的取值；③列出分布列；④利用离散型随机变量的均值公式求得均值；⑤利用离散型随机变量的方差公式求得方差。

三、典例导析

题型一一般离散型随机变量方差的计算

例1两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析,X1和X2的分布列分别为

X1

5%

10％

P

0。8

0.2

X2

2％

8％

12%

P

0。2

0.5

0。3

在两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差,.

思路导析:根据分布列先求出两个随机变量的均值，在此基础上再求得其方差。

解：由题设可知和的分布列分别为

Y1

5

10

P

0。8

0.2

Y2

2

8

12

P

0。2

0.5

0.3

，

，

,

．

方法规律：求一般的离散型随机变量的方差，需先列出分布列,求出期望，然后才能利用定义求方差．

变式训练：已知随机变量X的分布列为下表所示：

X

1

3

5

P

0.4

0。1

则X的标准差为（）.

A.3.56B.C。3。2D。

题型二二项分布的方差

例2某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，,若经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的期望与方差．

思路导析：本题中合格工艺品的个数为X显然服从二项分布，因此，可套用相关公式求解。

解：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，

所以，

故

方法规律：若给出的问题为二项分布、二点分布的期望、方差的计算问题，可直接套用公式求解，从而回避复杂的运算．

变式训练：甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用X表示甲队的总得分．求随机变量X的数学期望和方差．

题型三方差的实际应用问题

例3甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查，得到它们的抗拉强度指数如下：

X

110

120

125

130

135

0。1

0。2

0.4

0。1

0。2

Y

100

115

125

130

145

0。1

0.2

0。4

0。1

0。2

其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，问甲、乙两厂的材料哪一种稳定性较好？

思路导析：通过分布列分别求出两个随机变量的期望和方差，从而可以比较他们的平均水平及材料关于平均水平的稳定性。

解：首先看两厂材料的抗拉强度的期望，然后再比较它们的方差．

因为，

又因为

，

，

由可知，甲、乙两厂材料的平均抗拉强度是相等的，且不低于120,但，即乙厂材料的抗拉强度指标与其均值偏差较大．故甲厂的材料稳定性好．

方法规律：方差反映了离散型随机变量