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2.2.1对数及对数运算(1)
情景引入(2)取多少次,还有0.125尺?引题1:一尺之锤,日取其半,万世不竭。(1)取5次,还有多长?
引题2.假设2006年我国国民生产总值为a亿元,如果每年的平均增长率为8%,那么经过多少年我国的国民生产总值是2006年的2倍?01(1+8%)x=2,求x=?02上面的实际问题归结为一个什么数学问题?03已知底数和幂的值,求指数.04
底数的限制:a0且a≠1;对数的书写格式。01对数的定义:一般地,如果那么数x叫做以a为底N的对数,记作01其中a叫做对数的底数,N叫做真数。01注意:
底数对数真数幂指数底数↓↓↓↓↓↓二、思考:为什么在定义中要规定:a>0且a≠1,是不是所有的实数都有对数?负数与零没有对数
常用对数:以10为底的对数,01简记为;02自然对数:以无理数e=2.71828…03为底的对数,简记为04注意:两个重要对数的书写05三、两个重要对数
ABC将下列对数式写成指数式:求下列各式的值将下列指数式写成对数式:课堂练习
例1求下列各式中x的值0102030405
对数的性质探究活动1求下列各式的值思考:通过上面的例子,你发现什么?“1”的对数等于零,即0000原因
2求下列各式的值3思考:通过上面的例子,你发现什么?1探究活动25原因4底数的对数等于零,即
探究活动301求下列各式的值:02思考:通过上面的例子,你发现什么?03对数恒等式:0430560689074508
探究活动4求下列各式的值思考:通过上面的例子,你发现什么?对数恒等式:
010203040506负数与零没有对数对数恒等式:小结对数恒等式:
求下列各式的值0201练习
01求x的值:0203
小结1.对数定义:2.指数式与对数式互换3.理解:a>0且a≠1;而且N04.常用的两种对数:5.几个常用结论:
2.2.1对数的运算性质(2)
你能从指数与对数01性质得出相应的对数03的关系以及指数运算02运算性质吗?04指数的运算性质有哪些?
01则02
01则02
积、商、幂的对数运算法则1如果a0,a?1,M0,N0,则有:2
例题与练习例1用,,表示下列各式:
例2计课堂练习设
对数换底公式(a0,a?1,c0,c?1,b0)如何证明呢?对数的换底公式的意义在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题。利用换底公式时,注意选择适当的底数,一般取常用对数。注意
01设a,b0且均不为1,则02你能证明吗?三个推论
例1计算:
例2已知用a,b表示。练习:1.2.
例320世纪30年代,克里特制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为:01M=lgA-lgA0,其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)。02假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1)。03
5级地震给人的震感已比较明显,试计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍?(精确到1)
例3生物机体内碳14的半衰期为5730年,湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆汉墓的年代.解:我们先推算生物死亡t年后每克组织中碳14含量。设生物体死亡时,体内每克组织中的碳14的含量为1,1年后的残留量为x,由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系:死亡年数t123…t…碳14含量Pxx2x3…xt…因此,生物死亡t年后体内碳14的含量P=xt
由于大约每经过5730年,死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半,所以于是这样的生物死亡t年后体内的碳14的含量为由于对数与指数的关系,指数式可以写成对数式湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳14的残留量约占原始含量的76.7%,即P=0.767,那么由计算器可得:所以,马王堆古墓是近2200年前的遗址。
练习:1.求值:2.若
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