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贵州师范大学基础数学综合考博真题

一、填空题（每题5分，共25分）。

1.设f(x)是定义在?上的奇函数，且当x≥0

2.在数列{an}中，a1=

3.曲线y=x3

4.已知向量a?=(1,?2

5.积分∫0

二、选择题（每题5分，共25分）。

1.函数y=

A.(1,+∞)B.

2.下列极限中，极限值为1的是（）。

A.limx→0sinxx

3.设函数f(x)在点x

A.f?(x0)B.

4.若函数f(x)的一个原函数是sin

A.sinx+CB.cosx

5.已知矩阵A=(123

A.(4?2?31

三、解答题（每题10分，共30分）。

1.求函数y=

2.计算二重积分?D(x+y)dxd

3.已知线性方程组{x1+x2

四、证明题（共20分）。

1.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(

2.设A是n阶方阵，证明：|A*|=|

答案与解析。

填空题。

1.答案：?

-解析：因为f(x)是奇函数，所以f(?x)=?

2.答案：31。

-解析：由an+1=2an+1可得an+1+

3.答案：y

-解析：对y=x3?3x2+2求导得y

4.答案：2。

-解析：因为a?⊥b?所以a?

5.答案：4

-解析：int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(frac{1}{3}x^3+x)big_{0}^{1}=(frac{1}{3}times1^3+1)-(frac{1}{3}times0^3+0)=frac{4}{3}本题考查定积分的计算，占比5%。

选择题。

1.答案：B。

-解析：要使函数有意义，则{x?10ln(x?

2.答案：A。

-解析：limx→0sinxx=1

3.答案：B。

-解析：limh

4.答案：A。

-解析：因为f(x)的一个原函数是sinx所以

5.答案：A。

-解析：对于二阶矩阵A=(abcd)

解答题。

1.解析：

-首先对函数y=x3

-令y?=0即3(x

-当x1时，y?0函数y单调递增；当1x3时，y

-所以当x=1时，函数取得极大值，y(1)

2.解析：

-积分区域D为0≤y≤

-则?

-先计算内层积分int_{0}^{x}(x+y)dy=[xy+frac{1}{2}y^2]big_{0}^{x}=xcdotx+frac{1}{2}x^2=frac{3}{2}x^2

-再计算外层积分int_{0}^{1}frac{3}{2}x^2dx=frac{3}{2}timesfrac{1}{3}x^3big_{0}^{1}=frac{1}{2}本题考查二重积分的计算，占比10%。

3.解析：

-方程组的增广矩阵Aˉ

-对增广矩阵进行初等行变换：

-r2?r1

-r3?r

-当a≠2时，

-当a=

-若b≠3r(

-若b=3

证明题。

1.证明：

-构造函数F(

-因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)

-又F(a)

-根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈(a

-而F?(x)=ex

2.证明：

-已知AA

-两边取行列式得|A

-由矩阵行列式的性质，|AA*

-所以|A

-当|A|≠0时，|A*|=|A|n?1当|A|=0时，若A=