复变函数与解析函数课件.pptVIP

複變函數與解析函數

1.複變函數的定義—與實變函數定義相類似定義

例1例2

oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：定義域函數值集合2.映射的概念——複變函數的幾何意義zw=f(z)w

以下不再區分函數與映射（變換）。在複變函數中用兩個複平面上點集之間的對應關係來表達兩對變數u，v與x，y之間的對應關係，以便在研究和理解複變函數問題時，可借助於幾何直觀.複變函數的幾何意義是一個映射（變換）

例3解—關於實軸對稱的一個映射見圖1-1~1-2—旋轉變換(映射)見圖2例4解

oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o圖1-1圖1-2圖2uv(w)o

例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4

3.反函數或逆映射例設z=w2則稱為z=w2的反函數或逆映射∴為多值函數,2支.定義設w=f(z)的定義集合為G,函數值集合為G*則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數（逆映射）.

例已知映射w=z3，求區域0argz在平面w上的象。例

1.函數的極限2.運算性質3.函數的連續性§6複變函數的極限與連續性

1.函數的極限定義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:當變點z一旦進入z0的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預先給定的ε鄰域中

(1)意義中的方式是任意的.與一元實變函數相比較要求更高.(2)A是複數.2.運算性質複變函數極限與其實部和虛部極限的關係：定理1(3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.

定理2以上定理用極限定義證!

例1例2例3

3.函數的連續性定義定理3

例4證明f(z)=argz在原點及負實軸上不連續。證明xy(z)ozz

定理4連續函數的和、差、積、商(分母不為0)仍為連續函數;連續函數的複合函數仍為連續函數。有界性：

第二章解析函數第一節解析函數的概念第二節函數解析的充要條件第三節初等函數

1.複變函數的導數定義2.解析函數的概念§2.1解析函數的概念

一.複變函數的導數(1)導數定義定義設函數w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數f(z)在點z0處可導。稱此極限值為f(z)在z0的導數，記作如果w=f(z)在區域D內處處可導，則稱f(z)在區域D內可導。

(1)Δz→0是在平面區域上以任意方式趨於零。(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1

(2)求導公式與法則①常數的導數c?=(a+ib)?=0.②(zn)?=nzn-1(n是自然數).證明對於複平面上任意一點z0，有----實函數中求導法則的推廣

③設函數f(z),g(z)均可導，則[f(z)±g(z)]?=f?(z)±g?(z)，[f(z)g(z)]?=f?(z)g(z)+f(z)g?(z)

④複合函數的導數(f[g(z)])?=f?(w)g?(z)，其中w=g(z)。⑤反函數的導數，其中:w=f(z)與z=?(w)互為單值的反函數，且??(w)?0。思考題

例3問：函數f(z)=x+2yi是否可導？例2解解

例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導。證明

(1)複變函數在一點處可導，要比實函數在一點處可導要求高得多，也複雜得多，這是因為Δz→0是在平面區域上以任意方式趨於零的原故。(2)在高等數學中要舉出一個處處連續，但處處不可導的例題是很困難的,但在複變函數中，卻輕而易舉。

(3)可導與連續若w=f(z)在點z0處可導w=f(z)點z0處連續.?

二.解析函數的概念定義如果函數w=f(z)在z0及z0的某個鄰域內處處可導，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區域D內每一點都解析，則稱f(z)在D內解析，或稱f(z)是D內的解析函數