复变函数的导数.pptxVIP

第二章解析函数第三讲复变函数的导数与解析函数学习要点掌握复变函数的导数与微分掌握C-R方程与函数可导的充要条件

定义

问题：复变函数的导数与实变元函数的导数有什么不同？

解由导数的定义,有

当z=0时,该极限值为零.故在点z=0处函数可导

2.复变函数的微分

可导与连续的关系证：因为

4.求导法则

二、Cauchy-Riemann方程复变函数的可导性不等价于它的实部和虚部的可微性。那么什么条件下复变函数才能可导呢？

01比较以上两式即得02Cauchy-Riemann方程

定理：复变函数在一点可导的充要条件

证明：充分性

所以于是，有

必要性

R方程01例202例303

例2解

例3解但是由于满足C-R方程；

例4

01为什么满足C-R方程，函数还不可微（导）？02因为C-R方程只是必要条件

三、解析函数注意

定理1定理2

有用的结论

定理注：2.函数解析的充要条件

注解:解析函数的导数有更简洁的形式：解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解；柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件；

例6例7例8

例6解：

例7解：

例8证明：

请预习调和函数谢谢同学们，再见。