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第37讲三角形四心及奔驰定理

知识梳理

技巧一.四心的概念介绍：

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成：1.

()内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相

等.

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

技巧二.奔驰定理…解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

cx

已知AABC的顶点4(%,%),(尤，%)，(3，%)，则△ABC的重心坐标为

x+x+xy+y+y

3123

133人

注意：(1)在反山。中，若O为重心，贝]！砺+砺+诙=6.

()三角形的重心分中线两段线段长度比为：1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔驰定理：SAQA.+SBOB+SCOC=Q,则△AC»、△AOC、祗。。的面积

之比等于4：4：4

奔驰定理证明：如图，令4赤=砒，^OB=OB[,^OC=OC[,即满足

O4i+Ogi+OCi=0

S—OB_]S.oc_]SgOC_]4/re.c.c

-7_77飞_W7，飞_[[，耿^AAOB•°AAOC•°ABOC一々•勺•〜*

技巧三.三角形四心与推论：

(1)O是BC的重心：sABOC：sACOA：sAAOS=i：i：i^OA+oS+oc=d.

()O是AABC的内心：Swoc:^/\COA:^/\AOB=a：b:coaOA+bOB+cOC=0.

(3)O是△ABC的外心：

5:S:SMCR-sin2A:sin2B:sinCosin2AOA+sin2BOB+sin2COC=6.

ARnrArnA

ZADUCZACCZALSAOD

(4)O是△ABC的垂心:

S:S:S^ACR=tanA:tan5:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

/\n\ii,z\i,iZMz\M/n

ARnrArn4

技巧四.见结论

(1)内心：三角形的内心在向量普+若所在的直线上.

网M

A|B|-PC+|BC|-PC+|CA|-PB=O«尸为△ABC的内心.

(2)外心：西|卜|丽|=|七=尸为ZvlBC的外心.

(3)垂心：丽・丽=丽•定=前•玄o尸为△/€?的垂心.

(4)重心：西+丽+京=6o尸为BC的重心.

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