复变函数课件.pptVIP

章複變函數基本概念設在複平面C上以給點集E。如果有一個法則f，使得，同它對應，則稱f為在E上定義了一個複變數函數，簡稱為複變函數，記為w=f(z)。注1、同樣可以定義函數的定義域與值域；注2、我們也稱這樣的函數為單複變函數，即對E中的每個z，唯一存在一個複數w和它對應；注3、複變函數等價於兩個實變數的實值函數：若記z=x+iy，w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)，則f(z)等價於兩個二元實變函數u(x,y)和v(x,y)。注4、一些標準的記法也可以推廣到複變函數的情形。函數的幾何意義:函數f也稱為從E到C上的一個映射或映照。把集合E表示在一個複平面上，稱為z-平面；把相應的函數值表示在另一個複平面上，稱為w-平面。從集合論的觀點，令記作A=f(E)，我們稱映射w=f(z)把任意的映射成為函數的幾何意義:把集E映射成集A。稱及A分別為和E的象，而稱和E分別為及A的原象。若w=f(z)把E中不同的點映射成A中不同的點，則稱它是一個從E到A的雙射。例1：考慮映射w=z+a。令z=x+iy，w=u+iv,a=a+ib,其中x,y,u,v,a和b都是實數。我們顯然有：u=x+a,y=y+b,顯然，w=z+a是從z平面到w平面的一個雙射。如果把z以及它的象作在同一個複平面上，則這個映射是z平面的一個平移。例2：考慮映射其中解：令其中顯然，這個映射可以看作是下列函數或映射的複合函數或複合映射：這表示一個旋轉和一個以原點為中心的相似映射。例3：考慮映射解：這一映射可以看作是下列兩個映射的複合映射：把都作在同一個複平面上。顯然，映射是關於實軸的對稱映射，而映射例3：把z映射成，其幅角與z的幅角相同，模為滿足我們把中心在原點、半徑為1的圓稱為單位圓。於是，映射例3：稱為關於單位圓的對稱映射，對應的點稱為關於單位圓的互相對稱點。w=1/z把原點以外的任何點映射為另外一個點。把z及w表示在不同的擴充複平面，並規定則我們得到一個擴充z平面到擴充w平面的一個雙射。例4：考慮映射解：由於因此，這個映射等價於下麵的兩個實變映射：規定：除特別說明外，集E表示簡單曲線、區域或閉區域。複變函數極限的定義複變函數極限與實值函數極限結論的證明注解：1、幾何意義：2、與重極限的關係：3、四則運算：保持加、減乘除（分母不等於零）複變函數連續性的定義複變函數連續性

與實值函數連續性的關係

注1、初等函數在其有定義的地方連續。注2、連續函數在有界閉域上的性質也成立。注解：1、四則運算：保持加、減乘除（分母不等於零）；2、複合運算；3、關於實變連續的函數的基本性質也可以推廣過來：如一致連續性、閉區域上連續函數的基本性質（一致連續性、有界性、取到極大模和極小模等）。4、同樣我們也可以定義非正常極限。例5章