巧用勾股定理求最短路径的长专题提优特训7 提优训练 （含答案）2024-2025学年沪科版八年级数学下册.docx

巧用勾股定理求最短路径的长专题提优特训7

题型1长方体上的最短路径问题

1.如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是().

A.21B.5C.29

2.如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和103cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是cm.

3.一块长方体木块的各棱长如图所示，一只小蚂蚁在木块的一个顶点A处，一块糖在这个长方体上和小蚂蚁相对的顶点B处，小蚂蚁想尽快吃到糖，沿着长方体的表面向上爬.

(1)如果D是棱的中点，小蚂蚁沿“AD→DB”路线爬行，它从点A爬到点B所走的路程为多少?

(2)你认为“AD→DB”是最短路线吗?如果你认为不是，请计算出最短的路程.

题型2圆柱上的最短路径问题

4.传统文化葛藤绕木(2024·山东泰安岱岳实验中学期中)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上.

(1)若绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是多少尺?

(2)若绕n周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是多少尺?

题型3台阶上的最短路径问题

5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于100cm,60cm,20cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长?

1.B[解析]如图，将正面和右面展开,连接AB,

则BD=1+2=3,AD=4.

由勾股定理，得AB=3

2.5[解析]由勾股定理，得底面对角线长=82+6

思路引导细木棒在盒中最长长度放置方法是一端在底面一角，上端则靠在对角上，底面对角线与高和盒中细木棒部分组成一个直角三角形，先利用勾股定理得到底面对角线长，再利用勾股定理得到盒中细木棒长度，进而得到露在盒外的细木棒长度.

3.(1)从点A爬到点B所走的路程为AD+BD=4

(2)不是，分三种情况讨论：

①将下面和右面展开到一个平面内，

AB=

②将前面与右面展开到一个平面内，

AB=

③将前面与上面展开到一个平面内，

AB=

∵7280

4.(1)如图所示,在Rt△ABC中,

BC=20,AC=5×3=15,

∴AB=A

故葛藤的最短长度为25尺.

(2)在Rt△ABC中,BC=20,AC=3n,∴AB=AC2+B

■归纳总结求最短路径问题主要有三种情况：一是通过计算比较解最短路径问题；二是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；三是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路径转化为两点间的距离，然后借助勾股定理求出最短路径(距离).

5.将台阶的上表面展开后如图所示.由题意，得∠C=90°,BC=3×60+3×20=240(cm),AC=100cm.

由勾股定理，得AB=

故一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线长为260cm.