高中数学新课标学案：第课时正态分布.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2．4第一课时正态分布

一、课前准备

1．课时目标

(1)理解正态分布的定义；

(2）了解正态分布图像的性质；

(3）能利用正态分布图像的对称性求概率．

2．基础预探

1．如果随机变量X的概率密度函数为，其中实数和（＞0）为参数。我们称的图象为_____________曲线,简称_____曲线.

2．一般地,如果对于任何实数,随机变量X满足，则称X的分布为正态分布。正态分布完全由参数确定，因此正态分布常记作________。

3。如果随机变量X服从正态分布,则记为X～______________。把_____________的正态分布叫做标准正态分布。

二、学习引领

1．现实生活中有哪些正态分布

在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等;一定条件下生长的小麦株高、穗长、单位面积产量等;正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等，一般都服从正态分布.所以，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中。一般地,参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.

2．正态曲线的特点

(1）曲线位于ｘ轴上方，与ｘ轴不相交，故此曲线以ｘ轴为渐近线,函数的值域为正实数集的子集；

（2）曲线是先增后减，以直线为对称轴，在处达到最大值；

（3）曲线与ｘ轴之间的面积为1;

(4）当σ一定时,曲线随着的变化而沿ｘ轴平移；当一定时,曲线的对称轴位置固定，但形状由σ确定：σ越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.

3．利用正态曲线的对称性求概率的步骤

①根据正态密度函数的性质或者均值得到对称轴，做出函数的草图;

②观察已知的概率值与要求的概率值在图像上对应的部分是否具备某种对称关系；

③利用性质：正态密度曲线下方,x轴上方之间的总面积为1，通过适当的运算得到需要的概率值。

例如：我们可用标准正态总体N（0,1）求概率值的过程来说明这种对称性.

如图,的概率值为阴影部分的面积：

根据正态密度函数的性质可知：

+=1。

易知，非阴影部分的概率值为。

根据标准正态曲线关于ｙ轴对称，所以.

。

当然，通过其它的一些对称，还可以得到更复杂的性质.同样的,对称轴为的正态分布也具备类似的性质，只不过对称轴位置不同而已。

三、典例导析

题型一正态曲线的特点

例1设三个正态分布、、的密度函数图象如图所示，则、、按从小到大的顺序排列是_______;、、按从小到大的顺序排列是。

思路导析：正态曲线的对称轴为，形状的“胖瘦由确定，观察图像即可知其取值特点。

解析:由于正态曲线对称轴为，所以；当一定时,曲线的形状由确定．越小,曲线越“高瘦;越大，曲线越“矮胖”，所以.

所以填；．

方法规律：解决正态曲线问题应抓住图像的特点:曲线关于直线x=对称，因此位置由数学期望确定；形状的“胖瘦由方差确定，可简记为“大胖小瘦。

变式训练:如图是三种不同的正态曲线N（0，)的图象,那么、、的大小关系是()

A．B．

C．D．

题型二正态曲线的对称性

例2已知随机变量服从正态分布，，则（）

A．B．C．D．

思路导析:作出正态分布的草图，观察与的对称关系便可得到相应的概率值。

解：因为随机变量服从正态分布，所以正态分布的图象关于x=2对称，其图象如图所示，

所以，故选D．

规律总结:求正态分布在给定区间上的概率问题时，要将所给区间化为已知其概率值的区间，一般要利用数形结合的思想去解决．利用正态图象的对称性，可避免复杂的计算，简化解题过程．

变式训练：已知服从正态分布，，且，则。

题型三概率密度函数的性质

例３标准正态分布的概率密度函数是。

(1）求证：是偶数函数;

（2）利用指数函数的性质说明的增减性；

（3）求的最大值。

思路导析:标准正态分布函数与指数函数比较密切，我们可以借助研究指数函数的方法来研究它。

解：（1）对任意，有，

所以是偶数函数。

(2)任取，且，有，所以，所以.

即当ｘ＜0时,是递增的。

又是偶数函数，由偶函数性质知，当ｘ＞0时，是递减的.

（3）由（2)知关于x=0对称，且左增右减。

故当时，取最小值，此时取得最大值。

规律总结：本题利用指数函数的性质对标准正态函数进行了研究,从而对正态函数有了更