图形相乘法结构力学.pptxVIP

AllRightsReserved重庆大学土木工程学院?6.5图形相乘法计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，常需利用公式一、简化的条件（适用条件）1）杆段的EI为常数；2）杆段的轴线为直线；3）杆段的图和MP图中至少有一个为直线图形。

二、简化方法AllRightsReserved重庆大学土木工程学院?(a)式中，dA=MPdx为MP图中有阴影线的微分面积，而即为整个MP图的面积对y轴的静矩。用x0表示MP的形心至y轴的距离，则有(b)xyOxx0y0dxAABBC形心面积AdA=MPdxMP图MP图=xtanay0=x0tanaa

将式（b）代入（a），有AllRightsReserved重庆大学土木工程学院?即式中，y0=x0tana，是MP图的形心C处所对应的图中的竖标。可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积A乘以其形心C处所对应的另一直线弯矩图上的竖标y0，再除以EI。这种以图形计算代替积分运算的位移计算方法，就称为图形相乘法（图乘法）。(6-16)

如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为(6-17)三、应用图乘法的注意事项1）y0只能取自直线图形，而A应取自另一图形。2）当A与y0在弯矩图的基线同侧时，其互乘值应取正号；在异侧时，应取负号。

下图列出了几种常见简单图形的面积与形心位置。须注意的是：图中所示抛物线M图均为标准抛物线，即M图曲线的中点（或端点）为抛物线的顶点，而曲线顶点处的切线均与基线平行，该处剪力为零。

lllllhhCCCCCCC2l/3l/3(l+a)/3(l+b)/3abl/2l/23l/4l/43l/85l/82l/53l/54l/5l/5顶点顶点顶点二次抛物线二次抛物线A=hl/2A=hl/2A=2hl/3A1A2A1A2A1=2hl/3A2=hl/3A1=3hl/4A2=hl/4

4）如果MP与均为直线，则y0可取自其中任一图形。5）如果是折线图形，而MP为非直线图形，则应分段图乘，然后叠加。A1A2y01y02MP图图

如果杆件为阶形杆（EI为分段常数），则应按EI分段图乘，然后叠加，如图所示。EI2y02y01图MP图EI1A1A2

7）如果MP图为复杂的组合图形（由不同类型荷载按区段叠加法绘出），因而其面积和形心位置不便确定，则可用叠加法的逆运算，将MP图分解（还原）为每一种荷载作用下的几个简单图形，分别与图互乘，然后叠加。其中梯形的分解A1A2y01y02MP图图abcdl

当MP或图的竖标a、b或c、d不在基线同侧时，如图6-19b所示，处理原则仍和上面一样，可将MP分解为位于基线两侧的两个三角形（其中A1在上侧，A2在下侧），按上述方法，分别图乘，然后叠加。MP图A1A2y01y02abcdl图

抛物线非标准图形的分解AllRightsReserved重庆大学土木工程学院?=+MAMBqa2/8MAMBdxqa2/8ABMAMBaqABMAMBqa2/8aMAMBdxqa2/8ABaMAMBABq=+

1）作实际荷载弯矩图MP图；AllRightsReserved重庆大学土木工程学院?四、应用图乘法的计算步骤2）加相应单位荷载，作单位弯矩图图；3）用图乘法公式（6-17）求位移。例6-7】试求图6-21a所示简支梁跨中截面C的挠度DCV和B端的转角qB。已知EI=常数。解：(1)作实际荷载弯矩图，如图6-21b所示。qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP图

(2)加相应单位荷载，作单位弯矩图(3)用图乘法公式（6-17）求位移：将MP图与图相乘，则得qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP图AABBCCy01y02y0l/4111图图

()将MP图与图相乘，则得qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP图AABBCCy01y02y0l/4111图图

【例6-8】试求图示悬臂梁跨中截面C的挠度DCV。已知EI=常数。解：(1)解法一作MP图，并按A1、A2、A3、A4四部分划分，如图所示AAABBBCCCl/2l/2lqqlA1A2A3A4y01y02y03y04lMP图图1

(2)解法二作MP图，并按A1、A2两部分划分，如图所示。计算结果与前法完全相同，但因对MP图分块恰当，使计算更简便。MP图图AABBCA1A2y01y021lql2

【例6-9】试求图示刚架截面D的竖向位移DDV。解：求解本题时注意：一是对于斜杆CD，应以杆轴为基线计算；二是对于阶形住AC，应按EI不同分段图乘。(1)作MP图ABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2