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2025年中考数学复习提升训练：旋转综合压轴题
1．已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且．
(1)如图1，当时，求证：四边形是正方形；
(2)如图2，将射线绕着点O进行旋转．
①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明；
②四边形的面积为；
(3)如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积．
2．综合与实践
将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，，
(1)如图1，当时，的形状为_______，连接，可求出的值为______；
(2)当且时．
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值，若，请直接写出此时点到的距离．
3．（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长．
4．“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，中，，为边上的中线．将沿射线的方向平移，得到，其中点A，B，D的对应点分别为E，F，G，如图2，当线段经过点D时，连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
数学思考
（1）请回答老师提出的问题；
深入探究
（2）老师将图2中的绕点F按逆时针方向旋转得到，其中点E，G的对应点分别为P，Q，线段分别与边交于点M，N．如图3，当时，让同学们提出新的问题．
①“勤学小组”提出问题：试猜想线段和的数量关系，并证明；
②“善思小组”提出问题：若中，，请直接写出此时四边形的面积．请解答上述两个小组提出的问题．
5．如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形；
①在旋转过程中，当是直角时，求的度数；
②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______．
6．综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张如图1所示的正方形纸片，点在线段上，点在线段上，且满足，连接．
数学思考：
(1)线段与的数量关系为___________，位置关系为___________．
猜想证明：
(2)如图2，连接交于点，将绕点顺时针旋转，取线段的中点并记为，连接，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
拓展探究：
(3)在（2）的基础上继续将绕点顺时针旋转，若，当三点共线时，直接写出线段的长．
7．小红在学习了三角形的相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，如图，在中，，，点D，E分别在边上（不同时在点A），连接．
(1)问题解决：如图1，当点D，E分别与点B，C重合时，将线段绕点E顺时针旋转90°，得到线段，连接与的位置关系是_________，数量关系是________．
(2)问题探究：如图2，当点D，E不与点B，C重合时，将线段绕点E顺时针旋转90°，得到线段，连接与的位置关系是怎样的？请说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，当点E不与点C重合，且D为的中点时，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，点G是点C关于直线的对称点，若点G，D，F在一条直线上，求的值．
8．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图①，在中，，点D，E分别在边上，，连接，M是的中点，连接．
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(1)观察猜想
请直接写出与的数量关系和位置关系；
(2)类比探究
将图①中绕点C逆时针旋转到图②的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)解决问题
若，将图①中的绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出的最大值与最小值．
9．在中，，，为的中点，，为别为线段，上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)如图，点与点重合，且的延长线过点，若点为的中点，连接，求的长；
(2)如图，的延长线交于点，点在上，且，求证：；
(3)如图，为线段上一动点，为的中点，连接，为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段长度的最小值．
10．如图1，与均为等边三角形，将绕点逆时针旋转，旋转角为（其中），连接，，是的中点，．
(1)求证：；
(2)如图
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