高等数学-1.7无穷小的比较.pptx

1.7无穷小的比较

引例x→0时，x，x2，sinx都是无穷小,但

x2sinx

lim0,lim1,

x0sinxx0x

sinx

lim,

x0x2

可见无穷小趋于0的速度是多样的.

定义1设(x),(x)是自变量同一变化过程中的无穷小,且0

(x)

1)若lim0,则称是比高阶的无穷小,记为o()

(x)

(x)

2)若lim,则称是比低阶的无穷小

(x)

(x)

3)若limC0,则称和是同阶无穷小

(x)

(x)

4)若limC0,则称是关于的k阶无穷小

[(x)]k

(x)

5)若lim1,则称和是等价无穷小,记为(x)~(x)

(x)

2

x22

例1因为lim=0,所以当x0时,x是x比高阶的无穷小,即xo(x)；反之

x02x

x是比x2低阶的无穷小；

x24

因为lim=4，所以当x2时，2与是同阶无穷小

x2x2x4x2.

1cosx12

因为lim=，所以当x0时，1cosx与x是同阶无穷小.

x0x22

sinx

因为lim=1，所以当x0时，sinx与x是等价无穷小，即sinx~x.

x0x

定理1β与α是等价无穷小的充分必要条件是β＝α＋o(α)



证:~lim1





lim(1)0,lim0



即

o(),o()

定理2设α，β，α*，β*，为在同一变化过程中的非零无穷小，且α～α*，β～β*，

*

若lim存在，则有

*

*

limlim.

*

*

证:

limlim

