高等数学-1.9闭区间上连续函数的性质.pptxVIP

1.9闭区间上连续函数的性质

定理1最大值最小值定理

定理2有界性定理

定理3介值定理

一、有界性与最值定理

定义1f(x)在I上有定义，若有x0I，使得xI都有

或

f(x)f(x0)(f(x)f(x0))

则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）.

f(x)1sinx在区间[0，2]上有最大值2和最小值0.

f(x)sgnx在区间内(，)有最大值1和最小值-1，

在区间内(0,+)最大值1是和最小值也是1.

f(x)x在区间(a,b)内有既无最大值又无最小值.

定理1（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有

最大值和最小值.

使

即:设f(x)C[a,b],则1,2[a,b],

yf(x)

y

f(1)minf(x)

axb

f(2)maxf(x)

axb

12

abx

注意:若函数在开区间上连续,或在闭区间内有间断点结论不一定成立.

例如ytanx在开区间内连续,它在开区间内是无界的,且既无最大值也无最小值.

二、零点定理与介值定理

如果x0使f(x0)0,则x0称为函数f(x)的零点.

定理2（零点定理）若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，并且f(a)与f(b)异号，则

在开区间(a，b)中至少存在一点ξ，使得f(ξ)＝0.

定理3（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且在两端点取不同的函数值，

f(a)A，f(b)B，那么对于A与B之间的任意数C，在开区间(a,b)内至少有一点，使

f()C(ab)

(b)f(b)CBC0

推论在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域为闭区间[m,M]，其中m和M分别为f(x)在

[a,b]上的最小值和最大值.

1

例1证明方程4x2x在(0,)内至少有一根.

2

1

证设f(x)4x2x,显然f(x)在(0,)上连续,且在

2

1

f(0)10,f()220

2

由零点定理,至少存在一点使f()0

即42

例2设函数在上连续，，证明：在内至少

f(x)[a,b]ax1x2xn