高等数学-3.2洛必达法则.pptxVIP

3.2洛必达法则

一、0型不定式

0



二、型不定式

三、其它类型的不定式

本节研究:

f(x)0

函数之商的极限lim(或型)

g(x)0

转化洛必达法则

f(x)

导数之商的极限lim

g(x)

0

一、型不定式

0

定理1设函数f(x)和g(x)满足

1)limf(x)limg(x)0

xx0xx0



且

2)f(x)与g(x)在U(x0)内可导,g(x)0

f(x)

3)lim存在(或为)



xx0g(x)

f(x)f(x)

limlim(洛必达法则)



xx0g(x)xx0g(x)

定理条件:1)limf(x)limg(x)0

xx0xx0



2)f(x)与g(x)在U(x0)内可导,且g(x)0

f(x)

3)lim存在或为

()

xx0g(x)

在指出的邻域内任取

证:补充定义f(x0)g(x0)0,

则

xx0,f(x),g(x)在以x0,x为端点的区间上满足柯

西定理条件,故

f(x)f(x)f(x)f()

0

(在x0,x之间)

g(x)g(x)g(x0)g()

f(x)f()f()f(x)

limlimlimlim

xxxxx0

xx0g(x)0g()0g()g(x)

f(x)f(x)

洛必达法则limlim



xx0g(x)xx0g(x)

注1定理1中xx0换为下列过程之一:



xx0,xx0,x,x,x

条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.

f(x)0

注2lim仍属型,且f(x),g(x)满足定

g(x)0

理1条件,则

f(x)f(x)f(x)

limlimlim

g(x)g(x)g(x)

πarctanx

例1.求lim2.0型

x1

x0

1



洛2

解:原式lim1x

1

x

x2

x2

lim1

x1x2

x3