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第十章无穷级数
二、交错级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法10.2常数项级数及其审敛法三、任意项级数的敛散性
若定理1.正项级数收敛部分和数列有界.则称为正项级数.阿贝尔一、正项级数及其审敛法
定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k0),
例1.讨论p级数(常数p0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,
阿贝尔2）若
上式最后一个级数是|q|1的等比级数，所以收敛.可见级数收敛.综上所述，
证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.
比较判别法的极限形式:设?￥=1nnu与?￥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若?￥=1nnv发散,则?￥=1nnu发散;
解原级数发散.故原级数收敛.
解
级数收敛.
二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛.
收敛收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛
定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明三、任意项级数的敛散性
上面定理的意义：任意项级数正项级数
解故由定理7知原级数绝对收敛.
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