弹性力学教学课件第6章平面问题的极坐标解答.docx

弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12制作：马宏伟，张伟伟zwwps@126.com东莞理工学院

弹性力学

配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12

制作：马宏伟，张伟伟

zwwps@126.com

东莞理工学院

第六章平面问题的极坐标解答01极坐标中的弹性力学方程02

第六章平面问题的极坐标解答

01极坐标中的弹性力学方程

02极坐标中的应力函数与相容方程

03孔口应力集中问题

04楔形体弹性力学解答及推广

01极坐标中的弹性力学方程Elasticityequationsinpolarcoordinates

01

极坐标中的弹性力学方程

Elasticityequationsinpolarcoordinates

极坐标中的平衡微分方程

Equilibriumdifferentialequationsinpolarcoordinates

平衡条件

应用假定：(1)连续性，(2)小变形。考虑通过微分体形心C的ρ，φ向，及矩的平衡，列出3个平衡条件：∑Fp=0,∑Fa=0,

应用假定：(1)连续性，(2)小变形。

考虑通过微分体形心C的ρ，φ向，及矩的平衡，列出3个平衡条件：

∑Fp=0,∑Fa=0,∑

极坐标中的平衡微分方程

Equilibriumdifferentialequationsinpolarcoordinates

平衡条件

∑F,=0,∑Fn=0,∑M。=0。含义：通过形心C的ρ向合力为0。

∑F,=0,∑Fn=0,∑M。=0。

含义：通过形心C的ρ向合力为0。

σ

-

+

其中可取：cosd2≈1,sind2≈

极坐标中的平衡微分方程

Equilibriumdifferentialequationsinpolarcoordinates

平衡条件

∑F,=0,∑Fσ=0,∑M。=0。

含义：通过形心C的φ向合力为0。σ+?σ?dρ

含义：通过形心C的φ向合力为0。

σ

+

+

略去三阶微量，保留到二阶微量，得：

1

极坐标中的平衡微分方程

Equilibriumdifferentialequationsinpolarcoordinates

平衡条件

∑F,=0,∑F。=0,∑Ms=0.

含义：通过形心C的力矩为0。当考虑到二阶微量时，得：进一步验证了切应力互等定理。?σ

含义：通过形心C的力矩为0。

当考虑到二阶微量时，得：

进一步验证了切应力互等定理。

?

极坐标下的平衡方程：1ρ

极坐标中的几何方程及物理方程

Geometricandphysicalequationsinpolarcoordinates

几何方程

含义：过任一点(ρ，φ)作两个沿正标向的微分线段，P

01只考虑径向位移uρ

PA转角α=0

PA转角α=0,PB转角

所以切应变为γ

极坐标中的几何方程及物理方程

Geometricandphysicalequationsinpolarcoordinates

几何方程

02只有环向位移u,

PA转角α=DA′′

PA转角α

PB转角变形前切线?OP,变形后切线

β=

所以切应变为

极坐标中的几何方程及物理方程Geometricandphysicalequationsinpolarcoordinates几何方程03当uρ和u同时存在(2)极坐标中的物理方程(1)几何方程为直角坐标中的物理方程是代数方程，且x与y为正交，极坐标中的物理方程也是代数方程，且ρ与φ为正交，故物理方程形式相似。平面应力问题：(3)边界条件形式比较简单对于平面应变问题，只须作如下变换，应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：ρ

极坐标中的几何方程及物理方程

Geometricandphysicalequationsinpolarcoordinates

几何方程

03

当

u

和

u

同时存在

(2)极坐标中的物理方程

(1)几何方程为

直角坐标中的物理方程是代数方程，且x与y为正交，

极坐标中的物理方程也是代数方程，且ρ与φ为正交，

故物理方程形式相似。

平面应力问题：

(3)边界条件

形式比较简单

对于平面应变问题，只须作如下变换，

应用极坐标时，弹性体的边界面通常

均为坐标面，即：

ρ

或

φ

02极坐标中的应力函数与相容方程Stressfunctionandcompatibili