专题12.21 全等三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（教师版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）.docxVIP

专题12.21全等三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

一般三角形

直角三角形

判定

边角边（SAS）

角边角（ASA）

角角边（AAS）

边边边（SSS）

两直角边对应相等

一边一锐角对应相等

斜边、直角边定理（HL）

性质

对应边相等，对应角相等

（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）

备注

判定三角形全等必须有一组对应边相等

【知识点一】全等三角形的判定与性质

【知识点二】全等三角形的证明思路

【知识点三】角平分线的性质

1.角的平分线的性质定理

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

2.角的平分线的判定定理

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

3.三角形的角平分线

三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.

4.与角平分线有关的辅助线

在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；

在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.

【知识点四】全等三角形证明方法

全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.

1．证明线段相等的方法：

(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.

(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.

(3)等式性质.

2．证明角相等的方法：

(1)利用平行线的性质进行证明.

(2)证明两个角所在的两个三角形全等.

(3)利用角平分线的判定进行证明.

(4)同角（等角）的余角（补角）相等.

(5)对顶角相等.

3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；

可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.

4．辅助线的添加:

(1)作公共边可构造全等三角形；

(2)倍长中线法；

(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；

(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.

5.证明三角形全等的思维方法:

（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.

（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.

（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】利用全等三角形的性质与判定求值或证明

【例1】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点，使得，连接．

(1)求证：；

(2)若，，，求的度数．

【答案】(1)证明见解析；(2)．

【分析】（）由为中点得，然后用“”证明即可；

（）由，得，三角形的内角和得，最后由平行线的性质即可求解；

本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．

（1）证明：∵为中点，

∴，

在和中，

，

∴；

（2）由（）得：，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴．

【变式1】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，若，则的度数为（?????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，根据，求出，再根据三角形全等证明即可．

解：∵，

∴，

∵是的角平分线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

故选：B．

【变式2】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为．

【答案】5

【分析】先根据证明，则可得，即可求出的长．

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

解：∵、是的高，

，

，，

，

在和中

，

，

，，

，

，

又，

，

．

故答案为：5.

【题型2】添加辅助线证明三角形全等并求值

【例2】（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】

（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．

【模型运用】

（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形