高考数列公式(教师).docVIP

第八辑数列专题

一，公式结论

1，数列定义：按一定顺序排成的一列数叫做数列，数列中每个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项〔通常也叫首项〕，排在第二位的数叫做这个数列的第2项……排在第个的数称为这个数列的第项，数列的一般形式可以写成，简记为

2，数列分类：

〔1〕有穷数列：项数有限的数列，如：2,4,6

〔2〕无穷数列：项数无限的数列，如：1,2,3,4……

〔3〕递增数列：从第2项开始，每一项都大于它的前一项的数列，如：1,3,9,27,81……

〔4〕递减数列：从第2项开始，每一项都小于它的前一项的数列，如：1，-1，-3，-5，-7……

〔5〕常数列：各项均相等的数列，如：2,2,2,2,2……

〔6〕摆动数列：从第2项起，有些项大于前一项，有些项小于前一项的数列，如：6,-6,6,-6……

2，通项公式：数列的第项与项数之间的关系，它可以表示数列中的任意一项。

3，递推关系：数列中相邻两项或相邻几项之间的关系。

4，前项和：数列的前项和与项数的关系可用一个公式表示，这个公式叫做这个数列的前项和公式。

其中=，=，

5，等差、等比数列公式、性质、结论：

等差数列

等比数列

定义

1，从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个

常数，这个数列称为等差数列，这个常数称为公差。

2，或者〔为公差〕

1，从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个

常数，这个数列称为等比数列，这个常数称为公比。

2，或者，〔为公比且〕

通项公式

性质

为常数

假设、、成等差数列，那么有

假设、、成等比数列，那么有

假设，那么有

假设，那么有

为等差，那么为等比数列

为正项等比，那么为等差数列

前项和

性质

，，依然成等差数列

，，依然成等比数列

数列有项：有，；

有项：有那么，

〔〕；〔〕

重要结论

无论是等差还是等比：，或

6，等差数列其他结论：

〔1〕等差数列的通项公式是关于变量的一次函数：公差，数列为递增数列；，数列为递减数列；，数列为常数数列

〔5〕等差数列的前项和是关于变量的二次函数，且当〔非正自然数时，取较近的正自然数〕时，取得最大〔〕或最小〔〕

〔6〕等差数列、的前项和分别为、，那么

〔9〕等差数列的前项和，假设

7，等比数列其他结论：

〔1〕、均为等比数列，那么数列，依然是等比数列；

〔4〕项数为的等比数列，那么，当项数为的等比数列，那么

〔7〕时，为递增数列；时，为递增数列；

时，为递减数列；时，为递减数列；

时，为摆动数列；时，为常数列

8，特殊数列求和公式：；

二，根本方法

1，证明某数列是等差或者等比数列：

解析：法一，用定义证明：等差用或；等比用或

法二，利用条件构造要证明的数列形式

2，求等差或等比数列的通项公式：

解析：等差求首项和公差；等比求首项和公比

3，求非等差非等比数列通项公式〔递推关系求通项公式〕

类型1

解析：将原递推关系转化为，利用累加法求解

类型2

解析：将原递推关系转化为，利用累乘法求解

类型3〔其中均为常数，且〕

解析：构造新数列，即为等比数列

类型4或〔均为常数〕

解析：当时，等式两边同除；当时，，即为等比数列

类型5，〔为常数〕

解析：将原式转化为，利用待定系数得，，解

那么数列为等比数列，再利用类型3求解

类型6

解析：等式两边取对数得：，令得，利用类型3求解

类型7，〔为常数〕

解析：当时，两边取倒，得到，令得再利用类型3求解

当时，利用待定系数法将原式化成时的形式，再用上面的方法求解。

类型8

解析：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为的形式再求解

类型9

解析：利用消去，再利用上面的类型求解

类型10奇偶型

解析：求出奇数项或者偶数项的递推关系，再用上述方法求解

类型11周期型

解析：找出周期，利用周期求解。

4，求数列前项和的方法

解析一，等差或等比数列，直接利用公式求解；

解析二，倒序相加：首末两项之和与首末两项等距离的两项之和相等时，前项和正写倒写相加

解析三，错位相减：数列是等差数列，是等比数列，求数列前项和的时候用错位相减

解析四，分组求和：数列求和，分别是有规律且可求和的两个数列

解析五，裂项相消：分母有两个或两个以上含字母的因式相乘时

列项常用：

〔1〕；〔2〕；〔3〕

〔6〕是等差数列，那么，；