西北工大复变函数试题.docVIP

Fengou

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考试题1

复变函数(A卷)

一、填空题（每题4分，共20分）

1______________

2

3幂级数的收敛半径R=______________

4____________________

5函数将平面上的曲线变为平面上的

（）

二、单项选择题（每题4分，共20分）.

1设，则是的【】

A．可去奇点B．本性奇点C．极点D．非孤立奇点.

2设为正整数，则为【】

A．0B．C.D.

3级数在上【】

A．收敛B．发散???C．既有收敛点也有发散点D．不确定

4【】

A．B.C.D.

5设，则在复平面上所有有限奇点处的留数之和等于【】

A．B.C.10D.0

三(10分)讨论函数的可微性与解析性。

四(10分)设在内解析，且，，试计算积分

并由此得出之值。

五(10分)已知调和函数。求共轭调和函数及解析函数。

六(12分)求函数在以下圆环域内的Laurent展式:

(1)；(2)。

七(10分)求解无穷积分:

。

八(8分)求将圆，相交且包含的区域映为的映射,同时作图演示映射过程

考试题2

复变函数(A卷)

一、解答下列各题（每题6分，共60分）

1．求的值以及相应的主值。

2．设为解析函数，求的值。

3．判定函数在何处可导，何处解析？

4．求，其中C为自－i到i的右半圆周。

5．求，其中C为的正向。

6．求，其中C为包围0的光滑闭曲线。

7．若幂级数的在点条件收敛，求该级数的收敛半径。

8．求的奇点，并指出奇点的类型。

9．判定级数是否收敛。

10．求在有限远奇点处的留数。

二（10分）将函数在以i为中心的园环域内展开成洛朗级数。

三（10分）用留数计算广义积分。

四（10分）判定命题是否正确，并求，其中C为的正向。

五（10分）求一个函数，使得它把右半带形区域共形映射成上半平面。

标准答案与评分标准1

课程名称：复变函数

一、填空题（每题4分，共20分）

1.;2.;3.;4.;

5.

二、单项选择题（每题4分，共20分）.

1.B2.A3.C4.D5.A

三解:因为，所以，

所以。要使得，即，则必须有。故仅在直线上，C-R方程成立，且偏导数连续。从而仅在直线上可微，但在z平面上，却处处不解析。并且。

四解:由高阶导数公式

。又由复积分计算公式

即

五解:（解法一）用R-C条件。因为，所以

，从而推出。又因为，所以。于是。所以

。令得：，所以。

（解法二）线积分法。

同解法一，得。

六解:（1）当时，。两边求导得

。于是。

（2）当时，。两边求导得

。于是。

七解：。

函数在上半平面有二级极点，且

，

则，所以

。

八解:（1）先用将圆弧域映为角形域，其中分别映为，线段映为负实轴。（2），将角形域旋转，映为第一象限。

（3）最后，将第一象限映为。所以，复合以上变换，得到的映射为

标准答案与评分2

课程名称：复变函数卷

一、填空题（每题6分，共60分）

1.解：（4分）

其主值为（6分）

2．解:因为

要使即（5分）

故有（6分）

3．解：因为均可微，且

要使，只有（4分）

故当时可导，但在整个复平面处处不解析。（6分）

4．解：由于在复平面上解析，它的积分与路径无关，故（3分）

（6分）

5．解：因为被积函数在整个复平面解析，由Cauchy-Gourst定理知

＝0（6分）

6．解：因为在复平面解析，由高阶导数公式有：，（5分）

所以＝（6分）

7．解：因为在收敛，故由Abel定理知当时的

级数都绝对收敛，所以收敛半径，（3分）若则时的级数为