高等数学-9.1曲线积分与曲面积分.pptx

第九章

曲线积分与曲面积分

二、对坐标的曲线积分一、对弧长的曲线积分9.1曲线积分

对弧长的曲线积分的引例假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“分割,近似代替,求和,取极限”可得求此曲线形构件的质量.曲线形构件的质量M.采用1.引例

设?是空间中一条有限长的光滑曲线,义在?上的一个有界函数,都存在,?上对弧长的曲线积分,记作若通过对?的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，?称为积分弧段.曲线形构件的质量和对对弧长的曲线积分的定义

如果L是xOy面上的曲线弧,如果L是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为对弧长的曲线积分的定义

3.性质（?,?为常数)(?由组成)(l为曲线弧?的长度)对弧长的曲线积分的性质

对弧长的曲线积分的计算法定理1且上的连续函数,若是定义在光滑曲线弧则曲线积分

如果曲线L的方程为类似地，如果曲线L方程为则推广:设空间曲线弧的参数方程为则则有对弧长的曲线积分的计算法

计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)对弧长的曲线积分的计算法例1

二、对坐标的曲线积分一、对弧长的曲线积分9.1曲线积分

对坐标的曲线积分的概念与性质:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“分割”“近似代替”“求和”“取极限”恒力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.1.引例

1)“分割”.2)“近似代替”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在对坐标的曲线积分的概念与性质

3)“求和”4)“取极限”(其中?为n个小弧段的最大长度)对坐标的曲线积分的概念与性质

2定义对坐标的曲线积分的概念与性质

类似地定义对坐标的曲线积分的概念与性质

3.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.对坐标的曲线积分的概念与性质

3.性质((2)设L是有向曲线弧，用L－表示L的反向弧,则定积分是第二类曲线积分的特例.说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!对坐标的曲线积分的概念与性质

定理2对坐标的曲线积分的计算

特殊情形对坐标的曲线积分的计算

例2解对坐标的曲线积分的计算