高等数学-11.3 一阶线性微分方程.pptVIP

二、伯努利方程一、一阶线性微分方程11.3一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程丹尼尔伯努利如果称为一阶齐次线性方程.注：这里“齐次”不同于上节齐次方程的齐次.如果不恒为零，则（1）式为一阶非齐次线性方程.线性.非线性.特点：方程（1）中未知函数和未知函数的导数都是一次的.形如方程，称为一阶线性微分方程.（1）丹尼尔伯努利解法Step2求解一阶非齐次线性方程（1）的通解.（1）方程（2）是可分离变量的微分方程，分离变量后，得Step1首先求一阶齐次线性方程（2）的通解.即这是（1）式对应的齐次线性方程（2）的通解.两端积分,得丹尼尔伯努利设函数为非齐次线性方程的解，即两端积分，得（3）将上式代入（3）式得方程（1）的通解为以上求一阶非齐次线性方程通解的方法称为常数变易法.代入后得丹尼尔伯努利一阶非齐次线性方程解的结构：一阶非齐次线性方程的通解等于其对应的齐次方程的通解和它本身的一个特解之和。通解为特解为通解为丹尼尔伯努力求微分方程的通解.解先求原方程对应的齐次线性微分方程的通解.分离变量，得即例1两边积分，得丹尼尔伯努利用常数变易法,把换成即令两端积分，得于是，所求方程通解为得线性微分方程代入所给的非齐次即丹尼尔伯努利解这里根据通解公式得求微分方程的通解.例2丹尼尔伯努利形如的方程,称为伯努利方程.（一阶线性微分方程）（可分离变量的微分方程）二、伯努利方程时，当时，当解法(1)step1方程（1）两端同时除以得令则有代入（2）式得丹尼尔伯努利step2求解一阶非齐次线性方程的通解.step3变量还原.求微分方程的通解.例3解原方程可化为上式两端同除以可得如下方程令则有代入上式有丹尼尔伯努利所以原方程的通解为