第十讲 等差数列（思维拓展讲义）五年级数学尖子生高分题库（通用版）教师版.docxVIP

第10讲等差数列

知识概述

知识概述

(1)1，2，3，4，5，6，7，8,......

(2)2，4，6，8，10，12，14，16，......

(3)1，4，9，16，25，36，49，......

上面三组数都是数列。

数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项，第二个数叫第二项.....以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项。项的个数叫做项数。

一个数列中，如果从第二项起，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。相邻两项的差叫做这个等差数列的公差。

如等差数列:4，7，10，13，16，19，22，25，28。首项是4，末项是28，公差是3。

这一讲我们学习有关等差数列的知识。

例题

例题精学

例1在等差数列1，5，9，13，17，.....，401中，401是第几项?

解(401-1)÷4+1=101

答:401是第101项。

【思路点拨】求401是第几个，就是求这个等差数列的项数。求项数将401看作未项，1看作首项，这个数列的公差是4，求项数的方法是:

项数=(末项-首项)÷公差+1。

例题

例题精学

例2有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加1根，一共堆了28层，最下面一层有多少根?

解5+1x(28-1)=32(根)

答:最下面的一层有32根。

【思路点拨】将每层圆木根数写出来是:5，6，7，8，9，10，.....，可以看出是一个等差数列。将每层的圆木根数抽象成等差数列是解题的关键，在这个等差数列中，已知首项是5，公差是1，项数是28，求最下面的一层有多少根就是求这个等差数列的第28项，即末项。

因为第2项比第1项多1根，也就是多一个公差“1”，求第28项，就是求比第一项(首项)多27个公差是多少根。

求末项的方法是:末项=首项+公差×(项数-1)

例题

例题精学

例31+4+7+10+13+......+94+97+100=?

解(1+100)x34÷2=1717

答:和是1717。

【思路点拨】仔细观察，可发现数列中的数可以这样排列:1+100=101，4+97=101,7+94=101，......一共有多少个101呢?因为一共有(100-1)÷3+1=34(个)数，每两个数一对，所以一共有34÷2=17(对)，也就是说有17个101。只要选其中的一对求和再乘上对数就可以了。这里求等差数列的和，用的是配对方法求和，一般情况下:

和=(首项+未项)x项数÷2

例题

例题精学

例4求100以内所有被5除余1的自然数的和

解(96-1)÷5+1=20

(1+96)×20÷2=970

答:100以内所有被5除余1的自然数的和是970。

【思路点拨】将100以内被5除余1的自然数求出来分别是1，6，11，16，21，.....96，这是一个等差数列，然后求这个等差数列的各项之和。要注意，在被5除余1的自然数中，最小的是1，而不是6。根据被5除余1的数的特点，这组数成等差数列，要求和必须知道首项、末项和项数这三个条件，这里可先找出最小的数(首项为1)和最大的数(末项为96)，而项数是多少不知道，所以不能直接求和。这里最小的是1，最大的是96。根据求项数的方法，用(96-1)÷5+1，求出项数20，然后根据“和=(首项+末项)x项数÷2”来计算。

例题

例题精学

例5计算下列数字方阵中所有数的和。

1，2，3，.....，48，49，50

2，3，4，.....，49，50，51

3，4，5,......，50，51，52

......

50，51，52，......,97，98，99

解(1+50)x50÷2=1275:

(50+99)x50÷2=3725;

(1275+3725)x50÷2=125000

答:这个数字方阵中所有数的和是125000。

【思路点拨】在观察横行时，发现第二行中的每个数都比第一行中与之对应的数大1，每行有50个数，所以第二行中的50个数的和比第一行中50个数的和大50，再观察，第三行中的每个数都比第二行中与之对应的数大1，所以第三行中50个数的和比第二行中50个数的和大50......一共有50行。下面每一行50个数的和都比上面一行50个数的和大50。显然，这50个和数成等差数列，最后求出这组等差数列的和，解法是:1275x50+50x(1+2+......+49)=125000。解这道题要学会从整体入手，不仅要看出每行是一个等差数列，而且要看出每行的和排列起来，也是一个等差数列。

同步精练

同步精练

1.在数列7，10，13，16，......中，907是第几项?第907个数是多少?

【答案】第301个数，2725

2.蜗牛每小时都