大学数学函数的连续性.pptxVIP

◆函数的连续性(continuity)

气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是

连续地变化着，反映在函数关系上是函数的连

续性。

当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，

一般的，当自变量改变很微小时，因变量也很

微小，这个特性称为连续性。

连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。

◆增量的概念

自变量的增量

xxx0

函数的增量

yf(x)f(x0)f(x0x)f(x0)

定义1设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，

若)，则称函数在点处连续。

limf(x)f(x0yf(x)x0

xx0

在区间(a,b)上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函

数,或者说函数在该区间上连续,若在该区间左右端点处连续,称

函数是闭区间上的连续函数。

y

如果函数y=f(x)在x0点连续,则必须yf(x)

f(x0x)

同时满足下列三个条件：y

f(x0)

(1)f(x)在x0的某个邻域内有定义x

极限值存在

•limf(x)

xx0

(⑵)极限值与函数值f(x0)相等

ox

x0x0x

定义2设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果当自变

量的增量Δx=x-x0趋于零时，对应的函数的增量

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)也趋于零，即limy0

x0

那末就称函数y=f(x)在点x0连续.

函数在一点处连续的本质特征：当自变量改变很微小时，

函数值变化也很微小

y

◆连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线.

◆连续性举例

1.讨论绝对值函数在x=0处的连续性.

x(x0)

解因为f(x)xox

-x(x0)



limf(x)lim(x)0limf(x)limx0f(0)0

x0x0x0x0

所以limf(x)0f(0)所以绝对值函数在x=0处连续

x0

2.作为例子我们来证明函数y=sinx在区间,内是连续的

设x是区间(,)内任意取定的一点,当x有增量x时,

对应的函数增量为ysin(xx)sinx

xx

由三角公式有sin(xx)sinx2sincos(x)

22

xx

cos(x)1ysin(xx)sinx2sin

22

对于任意的角度,当0时,有sin,

x

0ysin(xx)sinx2x