专题12.28 添加辅助线构造三角形全等的十四种方法（题型梳理与方法分类讲解）（人教版）（学生版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）.docxVIP

专题12.28添加辅助线构造三角形全等的十四种方法（方法梳理与方法分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

几何学是初中数学的重要部分，通过添加辅助线解决几何问题是关键。作辅助线的原则要按照定义和基本图形添辅助线，常用方法包括构造全等三角形、按轴对称作辅助线、构造相似三角形等，还可以通过作底或高的辅助线等方法求面积。在解决全等三角形问题时，可以从结论、已知条件和条件和结论综合考虑来构造全等三角形，本专题共梳理出以下常用的几种作辅助线构造三角形全等的方法。

【方法1】连接两点构造全等【方法2】作垂直构造全等；

【方法3】作平行线构造全等；【方法4】延长相交补全图形构造全等；

【方法5】构造双垂直等角全等；【方法6】倍长中线构造全等；

【方法7】截长补短构造全等；【方法8】旋转构造全等；

【方法9】连接两点构造全等拓展；【方法10】作垂直构造全等延伸与拓展；

【方法11】作平行线构造全等拓展；【方法12】构造双垂直等角全等拓展；

【方法13】延长相交构造全等拓展；【方法14】截长补短构造全等拓展.

第二部分【题型梳理与方法点拨】

【方法1】连接两点构造全等；

【例1】（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）已知，，求证：．

【变式1】（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在四边形中，，于点，且．若，则（）

A． B． C． D．

【变式2】（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为．

【方法2】作垂直构造全等；

【例1】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图．

(1)在四边形中，与的面积相等，求证：直线必平分

(2)写出（1）的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么

【变式1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（）

A．4 B．5 C．8 D．16

【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为．

【方法3】作平行线构造全等

【例2】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．??

(1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）；

(2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想．

【变式1】（21-22八年级上·贵州黔西·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）

A．1 B．1.8 C．2 D．2.5

【变式2】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．

求让：

【方法4】延长相交补全图形构造全等；

【例4】（22-23八年级上·云南红河·期末）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．

(1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标；

(2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系；

(3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由．

【变式1】（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（???）

A．2 B．3 C．4 D．5

【变式2】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，已知，平分，且，为上一点，，，则．

【方法5】构造双垂直等角；

【例5】D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F．

（1）当∠MDN绕点D转动时，求证：DE=DF．

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积．

【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（?????）

A． B． C． D．

【变式2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于．

【方法6】倍长中线构造全等；

【例6】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：

(1)求证：和是兄弟三角形．

(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）