第五讲 定义新运算（思维拓展讲义）五年级数学尖子生高分题库（通用版）学生版.docxVIP

第5讲定义新运算

知识概述

知识概述

加、减、乘、除这四种运算的意义和运算法则我们都很熟悉。除了这四种运算之外，我们还可以人为地规定一些其他运算，并给出特定的运算规则，这样的运算形式我们一般称之为定义新运算。定义新运算通常运用某种特殊符号来表示一种运算，其运算规则中运用的计算方法与我们所学的四则运算方法相同，解题的关键是通过表达式寻找到运算规则。

例题

例题精学

例1如果2*3=2+3+4=9，5*4=5+6+7+8=26。求:

(1)9*5的值是多少?

(2)解方程χ*3=15。

【思路点拨】这种运算称作定义新运算。“*表示求连续自然数的和，“*”前的数表示第一个数(首项)，“*”后的数表示连续自然数的个数(项数)。

例题

例题精学

例2定义两种运算“⊕”、“⊙”，对于任意两个整数a、b，都有:

a⊕b=a+b-1，a⊙b=axb-1。若χ⊕(χ⊙4)=33，求χ的值。

【思路点拨】在有括号时，要先算括号内的再算括号外的。同时还要注意有两种运算状态时的运算。题中有两个“χ”，定义了两种运算,在运算时运算顺序还是按照四则运算的顺序进行。

此题的运算方法是:先根据符号“⊙”所表示的意义，将小括号里的式子改写成χx4-1,再根据符号“⊕”所表示的意义将χ⊕(χx4-1)改写成χ+(χx4-1)-1，即原方程可变为:χx5-2=33，然后再求出未知数χ。

例题

例题精学

例3定义一种运算“*”，它的意义是a*b=a+aa+aaa+……+aaa……a(a,b都是非0自然数)b个a

(1)求:2*3,3*2;

(2)若1*χ=123456789,求χ;

(3)求:5678x(5677*2)-5677x(5678*2)。

【思路点拨】为完整理解“*”的意义，可以从简单的情况入手:6*5=6+66+666+6666+66666，32*3=32+3232+323232对于问题(2)，如果你能熟悉1+11+111+1111+11111=12345，那么问题就很容易解决了。按照这样的思路，问题(3)就可以运用乘法分配律来解答了。

例题

例题精学

例4规定“?”的运算法则如下，对于任何整数a,b,有:

a?b=

求:(1?2)+(2?3)+(3?4)+(4?5)+(5?6)+(6?7)+(7?8)+(8?9)+(9?10)。

【思路点拨】这里有两种运算，要注意分辨清楚。可以将算式按两种运算进行分类:(1?2)(2?3)、(3?4)、(4?5)和(5?6)、(6?7)(7?8)、(8?9),(9?10)。

例题

例题精学

例5下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两个数据，C是输出的结果。请据此判断，当输入A值是2011，输人B值是9时，运算器输出的C值是多少?

A

32

45

46

56

B

5

3

8

5

C

2

0

6

1

运算器A

运算器

B

【思路点拨】这道题的运算规律不好找。先要从表中A、B、C的关系去分析。32÷5=6…245÷3=15…0,46÷8=5…6,56÷5=11…1看出什么了吗?运算器输人的A是被除数，B是除数，输出的C是余数，按这种想法就好解答了。

同步精练

同步精练

1.如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4的值是多少?

2.若a*b=a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+……+(a+b-1)，那么χ*10=65中χ的值是多少?

3.对于任意自然数P、Q,规定:

P+Q-10(P+Q≥10)

P⊕Q=

P×Q÷2(P+Q10)

求:(1⊕2)+(2⊕3)+(3⊕4)+(4⊕5)+(5⊕6)+(6⊕7)+(7⊕8)+(8⊕9)+(9⊕10)。

4.对于整数a、b，规定:a*b=axb-1，又知(3*χ)*2=0,则χ的值是多少?

5.对于任意自然数χ、y，定义运算如下:

若χ、y同奇同偶，则χ◎y=(χ+y)÷2;

若χ、y奇偶性不同，则χ◎y=(χ+y+1)÷2。

求:(1994◎1995)+(1995◎1996)+(1996◎1997)+……+(1999◎2000)。

6.两个不等的非0自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a▽b。比如5▽2=1，7▽25=4，6▽18=0。已知(19▽χ)▽19=5，而且χ小于50，求χ的最大值。

7.若a△b=axb-a，已知(2△χ)△2=0，求χ。

8.一个特殊的计算器，上面有个“*”键，当计算器上显示的数是a时，按一下