常微分方程数值解法.pptxVIP

2025/4/16NumericalAnalysis1第九章常微分方程初值问题数值解法

数值分析

本章内容NumericalAnalysis简单的数值方法欧拉法与后退欧拉法梯形方法改进欧拉公式单步法的局部截断误差与阶龙格-库塔方法显式龙格-库塔法的一般形式二阶显式R-K方法三阶与四阶显式R-K方法

9.1引言单击此处添加小标题NumericalAnalysis单击此处添加小标题科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题.这类问题最简单的形式，是本章将着重考察的一阶方程的初值问题单击此处添加小标题我们知道，只有f(x,y)适当光滑—譬如关于y满足利普希茨(Lipschitz)条件单击此处添加小标题理论上就可以保证初值问题的解y＝f(x)存在并且唯一.umericalAnalysis虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法.所谓数值解法,就是寻求解y(x)在一系列离散节点上的近似值y1,y2,?,yn,yn+1,?.相邻两个节点的间距hn=xn+1-xn称为步长.今后如不特别说明，总是假定hi=h(i=1,2,?)为定数,这时节点为xn=x0+nh(i=0,1,2,?)(等距节点).

NumericalAnalysis初值问题的数值解法有个基本特点，他们都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进.描述这类算法，只要给出用已知信息yn,yn-1,yn-2,?计算yn+1的递推公式.首先，要对微分方程离散化，建立求解数值解的递推公式.一类是计算yn+1时只用到前一点的值yn，称为单步法.另一类是用到yn+1前面k点的值yn,yn-1,?,yn-k+1，称为k步法.其次，要研究公式的局部截断误差和阶，数值解yn与精确解y(xn)的误差估计及收敛性，还有递推公式的计算稳定性等问题.010302

我们知道，在xy平面上，微分方程(1.1)式的解y=f(x)称作它的积分曲线，积分曲线上一点(x,y)的切线斜率等于函数f(x,y)的值.如果按f(x,y)在xy平面上建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致.基于上述几何解释，我们从初始点P0(x0,y0)出发,先依方向场在该点的方向推进到x=x1上一点P1，然后再从P1点依方向场在该点的方向推进到x=x2上一点P2,循环前进做出一条折线P0P1P2?.9.2简单的数值方法与基本概念9.2.1欧拉法与后退欧拉法NumericalAnalysis

2025/4/16NumericalAnalysis7一般地，设已做出该折线的顶点Pn,过Pn(xn,yn)依方向场的方向再推进到Pn+1(xn+1,yn+1)，显然两个顶点Pn,Pn+1的坐标有关系这就是著名的(显式)欧拉(Euler)公式.若初值y0已知，则依公式(2.1)可逐次逐步算出各点数值解.即

例1用欧拉公式求解初值问题其中xn=nh=0.1n(n=0,1,?,10),已知y0=1,由此式可得解取步长h=0.1，欧拉公式的具体形式为NumericalAnalysis

2025/4/16NumericalAnalysis9依次计算下去，部分计算结果见下表.与准确解相比，可看出欧拉公式的计算结果精度很差.xn欧拉公式数值解yn准确解y(xn)误差0.20.40.60.81.01.1918181.3582131.5089661.6497831.7847701.1832161.3416411.4832401.6124521.7320510.0086020.0165720.0257260.0373310.052719

按欧拉方法做出的折线PnPn+1便是y=y(x)过点Pn的切线.从图形上看,这样定出的顶点Pn+1显著地偏离了原来的积分曲线，可见欧拉方法是相当粗糙的.欧拉公式具有明显的几何意义,就是用折线近似代替方程的解曲线，因而常称公式(2.1)为欧拉折线法.NumericalAnalysis还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度.假设yn=y(xn),即顶点Pn落在积分曲线y=y(x)上，那么，

NumericalAnalysis称为此方法的局部截断误差.为了分析计算公式的精度，通常可用泰勒展开将y(xn+1)在xn处展开，则有在yn=y(xn)的前提下，f(xn,yn)=f(x